Calcul infinitésimal Exemples

$y'''' = 2 t e^{- 6 y} - e^{- 6 y}$ et $y (0) = 2$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez $e^{- 6 y}$ à partir de $2 t e^{- 6 y} - e^{- 6 y}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $e^{- 6 y}$ à partir de $2 t e^{- 6 y}$ .

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t) - e^{- 6 y}$

Étape 1.1.2

Factorisez $e^{- 6 y}$ à partir de $- e^{- 6 y}$ .

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t) + e^{- 6 y} \cdot - 1$

Étape 1.1.3

Factorisez $e^{- 6 y}$ à partir de $e^{- 6 y} (2 t) + e^{- 6 y} \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t - 1)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{- 6 y}}$ .

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- 6 y}} (e^{- 6 y} (2 t - 1))$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $e^{- 6 y}$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- 6 y}} (e^{- 6 y} (2 t - 1))$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = 2 t - 1$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} d y = (2 t - 1) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{e^{- 6 y}} d y = \int 2 t - 1 d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1

Inversez l’exposant de $e^{- 6 y}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int 1 {(e^{- 6 y})}^{- 1} d y = \int 2 t - 1 d t$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{- 6 y})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- 6 y \cdot - 1} d y = \int 2 t - 1 d t$

Étape 2.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$\int 1 e^{6 y} d y = \int 2 t - 1 d t$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $e^{6 y}$ par $1$ .

$\int e^{6 y} d y = \int 2 t - 1 d t$

Étape 2.2.2

Laissez $u = 6 y$ . Alors $d u = 6 d y$ , donc $\frac{1}{6} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.2.1

Laissez $u = 6 y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Différenciez $6 y$ .

$\frac{d}{d y} [6 y]$

Étape 2.2.2.1.2

Comme $6$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $6 y$ par rapport à $y$ est $6 \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$6$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{6} d u = \int 2 t - 1 d t$

Étape 2.2.3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{e^{u}}{6} d u = \int 2 t - 1 d t$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} \int e^{u} d u = \int 2 t - 1 d t$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{6} (e^{u} + C_{1}) = \int 2 t - 1 d t$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$\frac{1}{6} e^{u} + C_{1} = \int 2 t - 1 d t$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 y$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = \int 2 t - 1 d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = \int 2 t d t + \int - 1 d t$

Étape 2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 \int t d t + \int - 1 d t$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - 1 d t$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - t + C_{3}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - t + C_{3}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = t^{2} - t + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} = t^{2} - t + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $6$ .

$6 (\frac{1}{6} e^{6 y}) = 6 (t^{2} - t + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $6 (\frac{1}{6} e^{6 y})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $e^{6 y}$ .

$6 \frac{e^{6 y}}{6} = 6 (t^{2} - t + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$6 \frac{e^{6 y}}{6} = 6 (t^{2} - t + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{6 y} = 6 (t^{2} - t + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $6 (t^{2} - t + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{6 y} = 6 t^{2} + 6 (- t) + 6 K$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$e^{6 y} = 6 t^{2} - 6 t + 6 K$

Étape 3.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{6 y}) = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

Étape 3.4

Développez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Développez $\ln (e^{6 y})$ en déplaçant $6 y$ hors du logarithme.

$6 y \ln (e) = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

Étape 3.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$6 y \cdot 1 = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

Étape 3.4.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$ par $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

Étape 3.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $0$ et $y$ par $2$ dans $y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$ .

$2 = \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6}$

Étape 6

Résolvez $K$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 2$ .

$\frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 2$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $6$ .

$6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Étape 6.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Simplifiez $6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6}$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 6.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Étape 6.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

Étape 6.3.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\ln (6 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

Étape 6.3.1.1.2.2

Multipliez $6$ par $0$ .

$\ln (0 - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

Étape 6.3.1.1.2.3

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$\ln (0 + 0 + K) = 6 \cdot 2$

Étape 6.3.1.1.3

Associez les termes opposés dans $0 + 0 + K$ .

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Étape 6.3.1.1.3.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$\ln (0 + K) = 6 \cdot 2$

Étape 6.3.1.1.3.2

Additionnez $0$ et $K$ .

$\ln (K) = 6 \cdot 2$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\ln (K) = 12$

Étape 6.4

Pour résoudre $K$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (K)} = e^{12}$

Étape 6.5

Réécrivez $\ln (K) = 12$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{12} = K$

Étape 6.6

Réécrivez l’équation comme $K = e^{12}$ .

$K = e^{12}$

Étape 7

Remplacez $K$ par $e^{12}$ dans $y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $K$ par $e^{12}$ .

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})}{6}$

Étape 7.2

Réécrivez $\frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})}{6}$ comme $\frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$ .

$y = \frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$ en déplaçant $\frac{1}{6}$ dans le logarithme.

$y = \ln ({(6 t^{2} - 6 t + e^{12})}^{\frac{1}{6}})$