Calcul infinitésimal Exemples

$x (y - 3) \frac{d y}{d x} = 4 y$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x (y - 3) \frac{d y}{d x} = 4 y$ par $x (y - 3)$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x (y - 3) \frac{d y}{d x} = 4 y$ par $x (y - 3)$ .

$\frac{x (y - 3) \frac{d y}{d x}}{x (y - 3)} = \frac{4 y}{x (y - 3)}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (y - 3) \frac{d y}{d x}}{x (y - 3)} = \frac{4 y}{x (y - 3)}$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(y - 3) \frac{d y}{d x}}{y - 3} = \frac{4 y}{x (y - 3)}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $y - 3$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y - 3) \frac{d y}{d x}}{y - 3} = \frac{4 y}{x (y - 3)}$

Étape 1.1.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x (y - 3)}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{y - 3} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{y - 3}{4 y}$ .

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} (\frac{4 y}{y - 3} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{4 y}{y - 3}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} \cdot \frac{4 y}{(y - 3) x}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $y - 3$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $y - 3$ à partir de $(y - 3) x$ .

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} \cdot \frac{4 y}{(y - 3) (x)}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{4 y} \cdot \frac{4 y}{(y - 3) x}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y} \cdot \frac{4 y}{x}$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun de $4 y$ .

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Étape 1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y} \cdot \frac{4 y}{x}$

Étape 1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y - 3}{4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{y - 3}{4 y} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y - 3}{4 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{y - 3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2

Divisez $y - 3$ par $y$ .

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Étape 2.2.2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$y$

$0$

$y$

$3$

Étape 2.2.2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $y$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

					$1$
	$y$	+	$0$		$y$	-	$3$

Étape 2.2.2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			+	$y$	+	$0$

Étape 2.2.2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $y + 0$

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$

Étape 2.2.2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$
					-	$3$

Étape 2.2.2.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{1}{4} \int 1 - \frac{3}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{4} (\int d y + \int - \frac{3}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{4} (y + C_{1} + \int - \frac{3}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - \int \frac{3}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.6

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y} d y)) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.8

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{4} (y + C_{1} - 3 (\ln (| y |) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.9

Simplifiez

$\frac{1}{4} (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{4} (y - 3 \ln (| y |)) = \ln (| x |) + C$