Calcul infinitésimal Exemples

$(y \ln (x) + y) d x + (x \ln (x) - e^{y}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y \ln (x) + y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (x) + y]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y \ln (x) + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y \ln (x)] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (x)] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y \ln (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $\ln (x)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y \ln (x)$ par rapport à $y$ est $\ln (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.3

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) + 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x \ln (x) - e^{y}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \ln (x) - e^{y}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \ln (x) - e^{y}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Étape 2.3.4

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Étape 2.3.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Étape 2.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Étape 2.3.6

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- e^{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{y}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $1 + \ln (x)$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x)$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $\ln (x) + 1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1 + \ln (x)$ .

$\ln (x) + 1 = 1 + \ln (x)$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\ln (x) + 1 = 1 + \ln (x)$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \ln (x) - e^{y} d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = x \ln (x) - e^{y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int x \ln (x) d y + \int - e^{y} d y$

Étape 5.2

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x \ln (x) y + C + \int - e^{y} d y$

Étape 5.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x \ln (x) y + C - \int e^{y} d y$

Étape 5.4

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$f (x, y) = x \ln (x) y + C - (e^{y} + C)$

Étape 5.5

Simplifiez

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \ln (x) + y$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x) y - e^{y} + g (x)] = y \ln (x) + y$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \ln (x) y] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x) y] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \ln (x) y]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x \ln (x) y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$y (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Étape 8.3.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$y (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Étape 8.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Étape 8.3.5

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$y (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Étape 8.3.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$y (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Étape 8.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$y (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Étape 8.3.7

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$y (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Étape 8.4

Comme $- e^{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{y}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y (1 + \ln (x)) + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y (1 + \ln (x)) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Étape 8.6

Simplifiez

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Étape 8.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y \cdot 1 + y \ln (x) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Étape 8.6.2

Associez des termes.

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Étape 8.6.2.1

Multipliez $y$ par $1$ .

$y + y \ln (x) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Étape 8.6.2.2

Additionnez $y + y \ln (x)$ et $0$ .

$y + y \ln (x) + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Étape 8.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + y \ln (x) + y = y \ln (x) + y$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$y \ln (x) - y \ln (x) = - \frac{d g}{d x} - y + y$

Étape 9.1.2

Soustrayez $y \ln (x)$ de $y \ln (x)$ .

$0 = - \frac{d g}{d x} - y + y$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $- \frac{d g}{d x} - y + y$ .

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Étape 9.1.3.1

Additionnez $- y$ et $y$ .

$0 = - \frac{d g}{d x} + 0$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $- \frac{d g}{d x}$ et $0$ .

$0 = - \frac{d g}{d x}$

Étape 9.1.4

Comme $\frac{d g}{d x}$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- \frac{d g}{d x} = 0$

Étape 9.1.5

Divisez chaque terme dans $- \frac{d g}{d x} = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 9.1.5.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{d g}{d x} = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{d g}{d x}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 9.1.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.1.5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{d g}{d x}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 9.1.5.2.2

Divisez $\frac{d g}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{- 1}$

Étape 9.1.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.1.5.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Étape 10

Déterminez la primitive de $0$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Étape 10.3

L’intégrale de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Étape 10.4

Additionnez $0$ et $C$ .

$g (x) = C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$

Étape 12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$ .

$f (x, y) = x y \ln (x) - e^{y} + C$