Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} (1 + y^{2})$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} (3 x^{2} (1 + y^{2}))$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{1 + y^{2}} (x^{2} (1 + y^{2}))$

Étape 1.2.2

Associez $3$ et $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{1 + y^{2}} (x^{2} (1 + y^{2}))$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $1 + y^{2}$ .

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Étape 1.2.3.1

Factorisez $1 + y^{2}$ à partir de $x^{2} (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x^{2})$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x^{2})$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = 3 x^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int 3 x^{2} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int 3 x^{2} d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\arctan (y) + C_{1} = 3 \int x^{2} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ comme $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\arctan (y) + C_{1} = 1 x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.3

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = x^{3} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\arctan (y) = x^{3} + K$

Étape 3

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$y = \tan (x^{3} + K)$