Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$ $y = A x e^{x^{2}}$

Étape 1

Écrivez le problème comme une expression mathématique.

$x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$ $y = A x e^{x^{2}}$

Étape 2

Réécrivez l’équation différentielle.

$x y' - y = 2 x^{2} y$

Étape 3

Déterminez $y'$ .

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Étape 3.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (A x e^{x^{2}})$

Étape 3.2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.1

Comme $A$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $A x e^{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $A \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$A \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$A (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$A (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$A (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$A (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$A (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$A (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$A (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$A (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$A (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.8.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{x^{2}}$ .

$A (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

Étape 3.3.10

Multipliez $e^{x^{2}}$ par $1$ .

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})$

Étape 3.3.11

Simplifiez

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Étape 3.3.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + A e^{x^{2}}$

Étape 3.3.11.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 e^{x^{2}} x^{2} A + e^{x^{2}} A$

Étape 3.3.11.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{2}} x^{2} A + e^{x^{2}} A$ .

$2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}$

Étape 3.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}$

Étape 4

Remplacez dans l’équation différentielle donnée.

$x (2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x^{2} A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Étape 5.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x (x^{2} A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Étape 5.1.3

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Étape 5.1.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 5.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Étape 5.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{2 + 1} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Étape 5.1.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - A x e^{x^{2}} = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Étape 5.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - A x e^{x^{2}}$ .

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Étape 5.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x (A e^{x^{2}})$ et $- A x e^{x^{2}}$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} A x - e^{x^{2}} A x = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Étape 5.2.2

Soustrayez $e^{x^{2}} A x$ de $e^{x^{2}} A x$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + 0 = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Étape 5.2.3

Additionnez $2 x^{3} (A e^{x^{2}})$ et $0$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Étape 5.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1

Déplacez $x$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 (x \cdot x^{2}) (A e^{x^{2}})$

Étape 5.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 (x^{1} x^{2}) (A e^{x^{2}})$

Étape 5.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{1 + 2} (A e^{x^{2}})$

Étape 5.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{3} (A e^{x^{2}})$

Étape 5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{3} (A e^{x^{2}})$ .

$2 x^{3} A e^{x^{2}} = 2 x^{3} A e^{x^{2}}$

Étape 6

La solution donnée respecte l’équation différentielle donnée.

$y = A x e^{x^{2}}$ est une solution à $x y' - y = 2 x^{2} y$