Calcul infinitésimal Exemples

$x y^{2} d x + (x^{2} y^{2} + x^{2} y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Étape 1.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y^{2}$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y)$

Étape 1.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{2} y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x^{2} y]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y^{2} + x^{2} y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 2.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x + y (2 x)$

Étape 2.4.3

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x + 2 y x$

Étape 2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x + 2 x y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 y^{2} x + 2 x y$ .

$2 x y = 2 y^{2} x + 2 x y$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$2 x y = 2 y^{2} x + 2 x y$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 y^{2} x + 2 x y$ .

$\frac{2 y^{2} x + 2 x y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x y$ .

$\frac{2 y^{2} x + 2 x y - (2 x y)}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $x y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $x y^{2}$ .

$\frac{2 y^{2} x + 2 x y - (2 x y)}{x y^{2}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Factorisez $y x$ à partir de $2 y^{2} x + 2 x y - 1 \cdot 2 x y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $y x$ à partir de $2 y^{2} x$ .

$\frac{y x (2 y) + 2 x y - 1 \cdot 2 x y}{x y^{2}}$

Étape 4.3.2.1.2

Factorisez $y x$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{y x (2 y) + y x (2) - 1 \cdot 2 x y}{x y^{2}}$

Étape 4.3.2.1.3

Factorisez $y x$ à partir de $- 1 \cdot 2 x y$ .

$\frac{y x (2 y) + y x (2) + y x (- 1 \cdot 2)}{x y^{2}}$

Étape 4.3.2.1.4

Factorisez $y x$ à partir de $y x (2 y) + y x (2)$ .

$\frac{y x (2 y + 2) + y x (- 1 \cdot 2)}{x y^{2}}$

Étape 4.3.2.1.5

Factorisez $y x$ à partir de $y x (2 y + 2) + y x (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y x (2 y + 2 - 1 \cdot 2)}{x y^{2}}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{y x (2 y + 2 - 2)}{x y^{2}}$

Étape 4.3.2.3

Associez les termes opposés dans $2 y + 2 - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.3.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{y x (2 y + 0)}{x y^{2}}$

Étape 4.3.2.3.2

Additionnez $2 y$ et $0$ .

$\frac{y x (2 y)}{x y^{2}}$

$\frac{y x \cdot 2 y}{x y^{2}}$

Étape 4.3.2.4

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot 2 (y^{1} y)}{x y^{2}}$

Étape 4.3.2.4.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot 2 (y^{1} y^{1})}{x y^{2}}$

Étape 4.3.2.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x \cdot 2 y^{1 + 1}}{x y^{2}}$

Étape 4.3.2.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x \cdot 2 y^{2}}{x y^{2}}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 2 y^{2}}{x y^{2}}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 y^{2}}{y^{2}}$

Étape 4.3.4

Remplacez $M$ par $x y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{2}}{y^{2}}$

Étape 4.3.4.2

Divisez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int 2 d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Appliquez la règle de la constante.

$μ (x, y) = e^{2 y + C}$

Étape 5.2

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{2 y} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $x y^{2} d x + (x^{2} y^{2} + x^{2} y) d y = 0$ par le facteur d’intégration $e^{2 y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez $x y^{2}$ par $e^{2 y}$ .

$x y^{2} e^{2 y} d x + (x^{2} y^{2} + x^{2} y) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $x^{2} y^{2} + x^{2} y$ par $e^{2 y}$ .

$x y^{2} e^{2 y} d x + (x^{2} y^{2} + x^{2} y) e^{2 y} d y = 0$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$x y^{2} e^{2 y} d x + (x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x y^{2} e^{2 y} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = x y^{2} e^{2 y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Comme $y^{2} e^{2 y}$ est constant par rapport à $x$ , placez $y^{2} e^{2 y}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = y^{2} e^{2 y} \int x d x$

Étape 8.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{2 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 8.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Réécrivez $y^{2} e^{2 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $y^{2} e^{2 y} \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{2 y} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 8.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} e^{2 y} x^{2} + C$

Étape 8.3.2.2

Associez $\frac{y^{2}}{2}$ et $e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 y}}{2} x^{2} + C$

Étape 8.3.2.3

Associez $\frac{y^{2} e^{2 y}}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 y} x^{2}}{2} + C$

Étape 8.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2} + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2} + g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} e^{2 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.3.2

Associez $\frac{y^{2}}{2}$ et $e^{2 y}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} e^{2 y}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.3.3

Associez $\frac{y^{2} e^{2 y}}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} e^{2 y} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.3.4

Comme $\frac{x^{2}}{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y^{2} e^{2 y} x^{2}}{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2} e^{2 y}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2} e^{2 y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.3.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = e^{2 y}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} \frac{d}{d y} [e^{2 y}] + e^{2 y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = 2 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 y$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 y]) + e^{2 y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.3.6.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (e^{u} \frac{d}{d y} [2 y]) + e^{2 y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 y$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]) + e^{2 y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.3.7

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])) + e^{2 y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (e^{2 y} (2 \cdot 1)) + e^{2 y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (e^{2 y} (2 \cdot 1)) + e^{2 y} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.3.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (e^{2 y} \cdot 2) + e^{2 y} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.3.11

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 y}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (2 e^{2 y}) + e^{2 y} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (2 e^{2 y}) + e^{2 y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2}}{2} (y^{2} (2 e^{2 y})) + \frac{x^{2}}{2} (e^{2 y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.5.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.5.2.1

Associez $y^{2}$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{y^{2} x^{2}}{2} (2 e^{2 y}) + \frac{x^{2}}{2} (e^{2 y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.5.2.2

Associez $2$ et $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 (y^{2} x^{2})}{2} e^{2 y} + \frac{x^{2}}{2} (e^{2 y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.5.2.3

Associez $\frac{2 (y^{2} x^{2})}{2}$ et $e^{2 y}$ .

$\frac{2 (y^{2} x^{2}) e^{2 y}}{2} + \frac{x^{2}}{2} (e^{2 y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{2} x^{2} e^{2 y}}{2} + \frac{x^{2}}{2} (e^{2 y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.5.2.4.2

Divisez $y^{2} x^{2} e^{2 y}$ par $1$ .

$y^{2} x^{2} e^{2 y} + \frac{x^{2}}{2} (e^{2 y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.5.2.5

Associez $e^{2 y}$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y^{2} x^{2} e^{2 y} + \frac{e^{2 y} x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.5.2.6

Associez $2$ et $\frac{e^{2 y} x^{2}}{2}$ .

$y^{2} x^{2} e^{2 y} + \frac{2 (e^{2 y} x^{2})}{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.5.2.7

Associez $\frac{2 (e^{2 y} x^{2})}{2}$ et $y$ .

$y^{2} x^{2} e^{2 y} + \frac{2 (e^{2 y} x^{2}) y}{2} + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.5.2.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.5.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} x^{2} e^{2 y} + \frac{2 e^{2 y} x^{2} y}{2} + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.5.2.8.2

Divisez $e^{2 y} x^{2} y$ par $1$ .

$y^{2} x^{2} e^{2 y} + e^{2 y} x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + e^{2 y} x^{2} y^{2} + e^{2 y} x^{2} y = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 11.5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d y} + e^{2 y} x^{2} y^{2} + e^{2 y} x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1

Soustrayez $x^{2} y^{2} e^{2 y}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y e^{2 y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y} - x^{2} y^{2} e^{2 y}$

Étape 12.1.2

Soustrayez $x^{2} y e^{2 y}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y} - x^{2} y^{2} e^{2 y} - x^{2} y e^{2 y}$

Étape 12.1.3

Associez les termes opposés dans $x^{2} y^{2} e^{2 y} + x^{2} y e^{2 y} - x^{2} y^{2} e^{2 y} - x^{2} y e^{2 y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.3.1

Soustrayez $x^{2} y^{2} e^{2 y}$ de $x^{2} y^{2} e^{2 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y e^{2 y} + 0 - x^{2} y e^{2 y}$

Étape 12.1.3.2

Additionnez $x^{2} y e^{2 y}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y e^{2 y} - x^{2} y e^{2 y}$

Étape 12.1.3.3

Soustrayez $x^{2} y e^{2 y}$ de $x^{2} y e^{2 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Étape 13

Déterminez la primitive de $0$ afin de déterminer $g (y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Étape 13.3

L’intégrale de $0$ par rapport à $y$ est $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Étape 13.4

Additionnez $0$ et $C$ .

$g (y) = C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2} + C$

Étape 15

Simplifiez $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} e^{2 y} x^{2} + C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} e^{2 y} x^{2} + C$

Étape 15.1.2

Associez $\frac{y^{2}}{2}$ et $e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 y}}{2} x^{2} + C$

Étape 15.1.3

Associez $\frac{y^{2} e^{2 y}}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 y} x^{2}}{2} + C$

Étape 15.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 y} x^{2}}{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2} e^{2 y}}{2} + C$