Calcul infinitésimal Exemples

$y d x + (x + 2 x y^{2} - 2 y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x + 2 x y^{2} - 2 y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 2 x y^{2} - 2 y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2 x y^{2} - 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $2 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Étape 2.4

Comme $- 2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y^{2} + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Additionnez $1 + 2 y^{2}$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y^{2}$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} + 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 y^{2} + 1$ .

$1 = 2 y^{2} + 1$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$1 = 2 y^{2} + 1$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 y^{2} + 1$ .

$\frac{2 y^{2} + 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ .

$\frac{2 y^{2} + 1 - 1}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $y$ .

$\frac{2 y^{2} + 1 - 1}{y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{2 y^{2} + 0}{y}$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $2 y^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 y^{2}}{y}$

Étape 4.3.3

Remplacez $M$ par $y$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y^{2}$ .

$\frac{y (2 y)}{y}$

Étape 4.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y (2 y)}{y^{1}}$

Étape 4.3.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$\frac{y (2 y)}{y \cdot 1}$

Étape 4.3.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (2 y)}{y \cdot 1}$

Étape 4.3.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 y}{1}$

Étape 4.3.3.2.5

Divisez $2 y$ par $1$ .

$2 y$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 y d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int 2 y d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{2 \int y d y}$

Étape 5.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)}$

Étape 5.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.3.1

Réécrivez $e^{2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)}$ comme $e^{2 (\frac{1}{2}) y^{2}} + C$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\frac{1}{2}) y^{2}} + C$

Étape 5.3.2

Simplifiez

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Étape 5.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2}{2} y^{2}} + C$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$μ (x, y) = e^{\frac{2}{2} y^{2}} + C$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$μ (x, y) = e^{1 y^{2}} + C$

Étape 5.3.2.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$μ (x, y) = e^{y^{2}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $y d x + (x + 2 x y^{2} - 2 y) d y = 0$ par le facteur d’intégration $e^{y^{2}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $y$ par $e^{y^{2}}$ .

$y e^{y^{2}} d x + (x + 2 x y^{2} - 2 y) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $x + 2 x y^{2} - 2 y$ par $e^{y^{2}}$ .

$y e^{y^{2}} d x + (x + 2 x y^{2} - 2 y) e^{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$y e^{y^{2}} d x + (x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{y^{2}} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = y e^{y^{2}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = y e^{y^{2}} x + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{y^{2}} x + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{y^{2}} x + g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y e^{y^{2}} x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y e^{y^{2}} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{y^{2}} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y e^{y^{2}} x]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y e^{y^{2}} x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y e^{y^{2}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y e^{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = e^{y^{2}}$ .

$x (y \frac{d}{d y} [e^{y^{2}}] + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = y^{2}$ .

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Étape 11.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y^{2}$ .

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Étape 11.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Étape 11.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{2}$ .

$x (y (e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (y (e^{y^{2}} (2 y)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Étape 11.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (y (e^{y^{2}} (2 y)) + e^{y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Étape 11.3.6

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$x (y^{1} y (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Étape 11.3.7

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$x (y^{1} y^{1} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Étape 11.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x (y^{1 + 1} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Étape 11.3.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$x (y^{2} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Étape 11.3.10

Déplacez $2$ à gauche de $e^{y^{2}}$ .

$x (y^{2} (2 \cdot e^{y^{2}}) + e^{y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Étape 11.3.11

Multipliez $e^{y^{2}}$ par $1$ .

$x (y^{2} (2 e^{y^{2}}) + e^{y^{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x (y^{2} (2 e^{y^{2}}) + e^{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (y^{2} (2 e^{y^{2}})) + x e^{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Étape 11.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + 2 e^{y^{2}} y^{2} x + e^{y^{2}} x = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Étape 11.5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d y} + 2 e^{y^{2}} y^{2} x + e^{y^{2}} x$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 y^{2} x e^{y^{2}} + x e^{y^{2}} = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $2 y^{2} x e^{y^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} + x e^{y^{2}} = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}} - 2 y^{2} x e^{y^{2}}$

Étape 12.1.2

Soustrayez $x e^{y^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}} - 2 y^{2} x e^{y^{2}} - x e^{y^{2}}$

Étape 12.1.3

Associez les termes opposés dans $x e^{y^{2}} + 2 x y^{2} e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}} - 2 y^{2} x e^{y^{2}} - x e^{y^{2}}$ .

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Étape 12.1.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 x y^{2} e^{y^{2}}$ et $- 2 y^{2} x e^{y^{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} = x e^{y^{2}} + 2 e^{y^{2}} y^{2} x - 2 y e^{y^{2}} - 2 e^{y^{2}} y^{2} x - x e^{y^{2}}$

Étape 12.1.3.2

Soustrayez $2 e^{y^{2}} y^{2} x$ de $2 e^{y^{2}} y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = x e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}} + 0 - x e^{y^{2}}$

Étape 12.1.3.3

Additionnez $x e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x e^{y^{2}} - 2 y e^{y^{2}} - x e^{y^{2}}$

Étape 12.1.3.4

Soustrayez $x e^{y^{2}}$ de $x e^{y^{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{y^{2}} + 0$

Étape 12.1.3.5

Additionnez $- 2 y e^{y^{2}}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{y^{2}}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $- 2 y e^{y^{2}}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y e^{y^{2}} d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y e^{y^{2}} d y$

Étape 13.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - 2 \int y e^{y^{2}} d y$

Étape 13.4

Laissez $u = y^{2}$ . Alors $d u = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 13.4.1

Laissez $u = y^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 13.4.1.1

Différenciez $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 13.4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 y$

Étape 13.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$g (y) = - 2 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 13.5

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 13.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Étape 13.7

Simplifiez

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Étape 13.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 2$ .

$g (y) = \frac{- 2}{2} \int e^{u} d u$

Étape 13.7.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 13.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{u} d u$

Étape 13.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Étape 13.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Étape 13.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (y) = \frac{- 1}{1} \int e^{u} d u$

Étape 13.7.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$g (y) = - \int e^{u} d u$

Étape 13.8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$g (y) = - (e^{u} + C)$

Étape 13.9

Simplifiez

$g (y) = - e^{u} + C$

Étape 13.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{2}$ .

$g (y) = - e^{y^{2}} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = y e^{y^{2}} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{y^{2}} x - e^{y^{2}} + C$

Étape 15

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = y e^{y^{2}} x - e^{y^{2}} + C$ .

$f (x, y) = y x e^{y^{2}} - e^{y^{2}} + C$