Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y}$ par $x^{3}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y}$ par $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d y}{d x}}{x^{3}} = \frac{\frac{6}{y}}{x^{3}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} \frac{d y}{d x}}{x^{3}} = \frac{\frac{6}{y}}{x^{3}}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{6}{y}}{x^{3}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} \cdot \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.1.3.2

Associez.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 \cdot 1}{y x^{3}}$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y x^{3}}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} \cdot \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{y}{6}$ .

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{6} (\frac{6}{y} \cdot \frac{1}{x^{3}})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Associez.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{6} \cdot \frac{6 \cdot 1}{y x^{3}}$

Étape 1.4.2

Associez.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{y (6 \cdot 1)}{6 (y x^{3})}$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{y (6 \cdot 1)}{6 (y x^{3})}$

Étape 1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \cdot 1}{6 (x^{3})}$

Étape 1.4.4

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \cdot 1}{6 x^{3}}$

Étape 1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{y}{6} d y = \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y}{6} d y = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} \int y d y = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $\frac{1}{6} (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ comme $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C_{1}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 2.2.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.1.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = \int x^{- 3} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}$ comme $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{12} y^{2} = - \frac{1}{2 x^{2}} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $12$ .

$12 (\frac{1}{12} y^{2}) = 12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $12 (\frac{1}{12} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{12}$ et $y^{2}$ .

$12 \frac{y^{2}}{12} = 12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$12 \frac{y^{2}}{12} = 12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 12 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + 12 K$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2 x^{2}}$ dans le numérateur.

$y^{2} = 12 \frac{- 1}{2 x^{2}} + 12 K$

Étape 3.2.2.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$y^{2} = 2 (6) \frac{- 1}{2 x^{2}} + 12 K$

Étape 3.2.2.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (6) \frac{- 1}{2 (x^{2})} + 12 K$

Étape 3.2.2.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \cdot 6 \frac{- 1}{2 x^{2}} + 12 K$

Étape 3.2.2.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 6 \frac{- 1}{x^{2}} + 12 K$

Étape 3.2.2.1.3

Associez $6$ et $\frac{- 1}{x^{2}}$ .

$y^{2} = \frac{6 \cdot - 1}{x^{2}} + 12 K$

Étape 3.2.2.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.1.4.1

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$y^{2} = \frac{- 6}{x^{2}} + 12 K$

Étape 3.2.2.1.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{6}{x^{2}} + 12 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6}{x^{2}} + 12 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{6}{x^{2}} + 12 K}$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $6$ à partir de $- \frac{6}{x^{2}} + 12 K$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez $6$ à partir de $- \frac{6}{x^{2}}$ .

$y = \pm \sqrt{6 (- \frac{1}{x^{2}}) + 12 K}$

Étape 3.4.1.2

Factorisez $6$ à partir de $12 K$ .

$y = \pm \sqrt{6 (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 (2 K)}$

Étape 3.4.1.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 (2 K)$ .

$y = \pm \sqrt{6 (- \frac{1}{x^{2}} + 2 K)}$

Étape 3.4.2

Pour écrire $2 K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y = \pm \sqrt{6 (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 K x^{2}}{x^{2}})}$

Étape 3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{6 \frac{- 1 + 2 K x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 3.4.4

Associez $6$ et $\frac{- 1 + 2 K x^{2}}{x^{2}}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{6 (- 1 + 2 K x^{2})}{x^{2}}}$

Étape 3.4.5

Réécrivez $\frac{6 (- 1 + 2 K x^{2})}{x^{2}}$ comme ${(\frac{1}{x})}^{2} (6 (- 1 + 2 K x^{2}))$ .

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Étape 3.4.5.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $6 (- 1 + 2 K x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (6 (- 1 + 2 K x^{2}))}{x^{2}}}$

Étape 3.4.5.2

Factorisez la puissance parfaite $x^{2}$ dans $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (6 (- 1 + 2 K x^{2}))}{x^{2} \cdot 1}}$

Étape 3.4.5.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (6 (- 1 + 2 K x^{2}))}{x^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} (6 (- 1 + 2 K x^{2}))}$

Étape 3.4.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{x} \sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}$

Étape 3.4.7

Associez $\frac{1}{x}$ et $\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{6 (- 1 + K x^{2})}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 1 + K x^{2})}}{x}$