Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - x^{2} + 2 x$ , $y (2) = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (x^{3} - x^{2} + 2 x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int x^{3} - x^{2} + 2 x d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int x^{3} - x^{2} + 2 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int x^{3} d x + \int - x^{2} d x + \int 2 x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} + \int - x^{2} d x + \int 2 x d x$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - \int x^{2} d x + \int 2 x d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 2 x d x$

Étape 2.3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 2 \int x d x$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.1

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{5}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{5}$

Étape 2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{5}$

Étape 2.3.7.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + 1 x^{2} + C_{5}$

Étape 2.3.7.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + C_{5}$

Étape 2.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $2$ et $y$ par $0$ dans $y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$ .

$0 = 2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$ .

$2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Étape 4.2

Simplifiez $2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Étape 4.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Étape 4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot (4 (4)) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Étape 4.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$4 + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Étape 4.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$4 + 4 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Étape 4.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$4 + 4 - \frac{1}{3} \cdot 8 + K = 0$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $- \frac{1}{3} \cdot 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.5.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$4 + 4 - 8 (\frac{1}{3}) + K = 0$

Étape 4.2.1.5.2

Associez $- 8$ et $\frac{1}{3}$ .

$4 + 4 + \frac{- 8}{3} + K = 0$

Étape 4.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 + 4 - \frac{8}{3} + K = 0$

Étape 4.2.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$8 - \frac{8}{3} + K = 0$

Étape 4.2.3

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$8 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3} + K = 0$

Étape 4.2.4

Associez $8$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3} + K = 0$

Étape 4.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 \cdot 3 - 8}{3} + K = 0$

Étape 4.2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.1

Multipliez $8$ par $3$ .

$\frac{24 - 8}{3} + K = 0$

Étape 4.2.6.2

Soustrayez $8$ de $24$ .

$\frac{16}{3} + K = 0$

Étape 4.3

Soustrayez $\frac{16}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$K = - \frac{16}{3}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- \frac{16}{3}$ dans $y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- \frac{16}{3}$ .

$y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{16}{3}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$y = x^{2} + \frac{x^{4}}{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{16}{3}$

Étape 5.2.2

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$y = x^{2} + \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{16}{3}$