Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} x + y - 1$

Étape 1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{2} x - 1$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 1 d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{- x + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (\frac{1}{2} x) + e^{- x} \cdot - 1$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (\frac{1}{2} x) + e^{- x} \cdot - 1$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = \frac{1}{2} e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = \frac{e^{- x}}{2} x + e^{- x} \cdot - 1$

Étape 3.3.3

Associez $\frac{e^{- x}}{2}$ et $x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = \frac{e^{- x} x}{2} + e^{- x} \cdot - 1$

Étape 3.3.4

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = \frac{e^{- x} x}{2} - 1 \cdot e^{- x}$

Étape 3.3.5

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = \frac{e^{- x} x}{2} - e^{- x}$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = \frac{e^{- x} x}{2} - e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = \frac{x e^{- x}}{2} - e^{- x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = \frac{x e^{- x}}{2} - e^{- x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int \frac{x e^{- x}}{2} - e^{- x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- x} y = \int \frac{x e^{- x}}{2} - e^{- x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$e^{- x} y = \int \frac{x e^{- x}}{2} d x + \int - e^{- x} d x$

Étape 7.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} \int x e^{- x} d x + \int - e^{- x} d x$

Étape 7.3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Étape 7.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Étape 7.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Étape 7.5.2

Multipliez $\int e^{- x} d x$ par $1$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Étape 7.6

Laissez $u_{1} = - x$ . Alors $d u_{1} = - d x$ , donc $- d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.1

Laissez $u_{1} = - x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 7.6.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 7.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 7.6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Étape 7.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Étape 7.8

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int - e^{- x} d x$

Étape 7.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int e^{- x} d x$

Étape 7.10

Laissez $u_{2} = - x$ . Alors $d u_{2} = - d x$ , donc $- d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.10.1

Laissez $u_{2} = - x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.10.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 7.10.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 7.10.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 7.10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 7.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 7.12

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.12.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 7.12.2

Multipliez $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ par $1$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 7.13

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + e^{u_{2}} + C$

Étape 7.14

Simplifiez

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (- x e^{- x} - e^{u_{1}}) + e^{u_{2}} + C$

Étape 7.15

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.15.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{u_{2}} + C$

Étape 7.15.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$

Étape 7.16

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (- x e^{- x}) + \frac{1}{2} (- e^{- x}) + e^{- x} + C$

Étape 7.16.2

Multipliez $\frac{1}{2} (- x e^{- x})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.16.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$e^{- x} y = - \frac{x}{2} e^{- x} + \frac{1}{2} (- e^{- x}) + e^{- x} + C$

Étape 7.16.2.2

Associez $e^{- x}$ et $\frac{x}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x} x}{2} + \frac{1}{2} (- e^{- x}) + e^{- x} + C$

Étape 7.16.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{- x}$ .

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} + C$

Étape 7.16.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{x e^{- x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} + C$

Étape 7.17

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{- x} y = - \frac{1}{2} x e^{- x} - \frac{1}{2} e^{- x} + e^{- x} + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{x}{2} e^{- x} - \frac{1}{2} e^{- x} + e^{- x} + C$

Étape 8.1.2

Associez $e^{- x}$ et $\frac{x}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{1}{2} e^{- x} + e^{- x} + C$

Étape 8.1.3

Associez $e^{- x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} + C$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $e^{- x} y = - \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} + C$ par $e^{- x}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{- x} y = - \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} + C$ par $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2}}{e^{- x}} + \frac{- \frac{e^{- x}}{2}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2}}{e^{- x}} + \frac{- \frac{e^{- x}}{2}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2}}{e^{- x}} + \frac{- \frac{e^{- x}}{2}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3.2

Pour écrire $e^{- x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} \cdot \frac{2}{2} + C}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3.3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.3.1

Associez $e^{- x}$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + \frac{e^{- x} \cdot 2}{2} + C}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2} + \frac{- e^{- x} + e^{- x} \cdot 2}{2} + C}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{C + \frac{- e^{- x} x - e^{- x} + e^{- x} \cdot 2}{2}}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3.4

Déplacez $2$ à gauche de $e^{- x}$ .

$y = \frac{C + \frac{- e^{- x} x - e^{- x} + 2 e^{- x}}{2}}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3.5

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.5.1

Additionnez $- e^{- x}$ et $2 e^{- x}$ .

$y = \frac{C + \frac{- e^{- x} x + e^{- x}}{2}}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$y = \frac{C + \frac{- x e^{- x} + e^{- x}}{2}}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3.5.3

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.5.3.1

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- x e^{- x}$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{- x} (- x) + e^{- x}}{2}}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3.5.3.2

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1}{2}}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3.5.3.3

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{- x} (- x + 1)}{2}}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3.6

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- x} (- x + 1)}{2}}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3.7

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.7.1

Associez $C$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{C \cdot 2}{2} + \frac{e^{- x} (- x + 1)}{2}}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{C \cdot 2 + e^{- x} (- x + 1)}{2}}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3.8

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.8.1

Déplacez $2$ à gauche de $C$ .

$y = \frac{\frac{2 \cdot C + e^{- x} (- x + 1)}{2}}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{\frac{2 C + e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1}{2}}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3.8.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{\frac{2 C - e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1}{2}}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3.8.4

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{2 C - e^{- x} x + e^{- x}}{2}}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3.9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{2 C - e^{- x} x + e^{- x}}{2}$ .

$y = \frac{\frac{2 C - x e^{- x} + e^{- x}}{2}}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3.10

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{2 C - x e^{- x} + e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{e^{- x}}$

Étape 8.2.3.11

Multipliez $\frac{2 C - x e^{- x} + e^{- x}}{2}$ par $\frac{1}{e^{- x}}$ .

$y = \frac{2 C - x e^{- x} + e^{- x}}{2 e^{- x}}$