Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + y) d x = (1 - x) d y$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$(1 - x) d y = (1 + y) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(1 - x) (1 + y)}$ .

$\frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $1 + y$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $1 + y$ à partir de $(1 - x) (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 + y) (1 - x)} (1 + y) d x$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 + y) (1 - x)} (1 + y) d x$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Laissez $u_{1} = 1 + y$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.2.1.1

Laissez $u_{1} = 1 + y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 4.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 4.2.1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 4.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 4.2.1.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 4.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Laissez $u_{2} = 1 - x$ . Alors $d u_{2} = - d x$ , donc $- d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Laissez $u_{2} = 1 - x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 4.3.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 4.3.1.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 4.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 4.3.5

Simplifiez

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 4.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 - x$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = - \ln (| 1 - x |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 1 + y |) + \ln (| 1 - x |) = C$

Étape 5.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + y | | 1 - x |) = C$

Étape 5.3

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| (1 + y) (1 - x) |) = C$

Étape 5.4

Développez $(1 + y) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 (1 - x) + y (1 - x) |) = C$

Étape 5.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + y (1 - x) |) = C$

Étape 5.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + y \cdot 1 + y (- x) |) = C$

Étape 5.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\ln (| 1 + 1 (- x) + y \cdot 1 + y (- x) |) = C$

Étape 5.5.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$\ln (| 1 - x + y \cdot 1 + y (- x) |) = C$

Étape 5.5.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$\ln (| 1 - x + y + y (- x) |) = C$

Étape 5.5.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\ln (| 1 - x + y - y x |) = C$

Étape 5.6

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 1 - x + y - y x |)} = e^{C}$

Étape 5.7

Réécrivez $\ln (| 1 - x + y - y x |) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | 1 - x + y - y x |$

Étape 5.8

Résolvez $y$ .

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Étape 5.8.1

Réécrivez l’équation comme $| 1 - x + y - y x | = e^{C}$ .

$| 1 - x + y - y x | = e^{C}$

Étape 5.8.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 - x + y - y x = \pm e^{C}$

Étape 5.8.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.8.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x + y - y x = \pm e^{C} - 1$

Étape 5.8.3.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$y - y x = \pm e^{C} - 1 + x$

Étape 5.8.4

Factorisez $y$ à partir de $y - y x$ .

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Étape 5.8.4.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - y x = \pm e^{C} - 1 + x$

Étape 5.8.4.2

Factorisez $y$ à partir de $- y x$ .

$y \cdot 1 + y (- 1 x) = \pm e^{C} - 1 + x$

Étape 5.8.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1 + y (- 1 x)$ .

$y (1 - 1 x) = \pm e^{C} - 1 + x$

Étape 5.8.5

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y (1 - x) = \pm e^{C} - 1 + x$

Étape 5.8.6

Divisez chaque terme dans $y (1 - x) = \pm e^{C} - 1 + x$ par $1 - x$ et simplifiez.

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Étape 5.8.6.1

Divisez chaque terme dans $y (1 - x) = \pm e^{C} - 1 + x$ par $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Étape 5.8.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.8.6.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 5.8.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Étape 5.8.6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Étape 5.8.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.8.6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 - x} - \frac{1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Étape 5.8.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm e^{C} - 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Étape 5.8.6.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm e^{C} - 1 + x}{1 - x}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{C + x}{1 - x}$