Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} - 2 x^{2} y = e^{x^{2}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} - 2 x^{2} y = e^{x^{2}}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 x^{2} y}{x} = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 x^{2} y}{x} = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 x^{2} y}{x} = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 x y)}{x} = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 x y)}{x^{1}} = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Étape 1.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 x y)}{x \cdot 1} = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Étape 1.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 x y)}{x \cdot 1} = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Étape 1.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 x y}{1} = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Étape 1.3.2.5

Divisez $- 2 x y$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 2 x$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 2 x d x}$

Étape 2.2

Intégrez $- 2 x$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 \int x d x}$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.2.3.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Étape 2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Étape 2.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Étape 2.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Étape 2.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Étape 2.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- x^{2}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- x^{2}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Étape 3.3

Multipliez $e^{- x^{2}} \frac{e^{x^{2}}}{x}$ .

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Étape 3.3.1

Associez $e^{- x^{2}}$ et $\frac{e^{x^{2}}}{x}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = \frac{e^{- x^{2}} e^{x^{2}}}{x}$

Étape 3.3.2

Multipliez $e^{- x^{2}}$ par $e^{x^{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = \frac{e^{- x^{2} + x^{2}}}{x}$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = \frac{e^{0}}{x}$

Étape 3.3.3

Simplifiez $e^{0}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = \frac{1}{x}$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = \frac{1}{x}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = \frac{1}{x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = \frac{1}{x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- x^{2}} y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- x^{2}} y = \ln (| x |) + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{- x^{2}} y = \ln (| x |) + C$ par $e^{- x^{2}}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{- x^{2}} y = \ln (| x |) + C$ par $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{\ln (| x |)}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- x^{2}}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{\ln (| x |)}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (| x |)}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$