Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} d y + (2 x y - x + 1) d x = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Réécrivez.

$(2 x y - x + 1) d x + x^{2} d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x y - x + 1$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - x + 1]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y - x + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0 + 0$

Étape 2.5

Associez des termes.

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Étape 2.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{2}$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x$ .

$2 x = 2 x$

Étape 4.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$2 x = 2 x$ est une identité.

Étape 5

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} d y$

Étape 6

Intégrez $N (x, y) = x^{2}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 6.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x^{2} y + C$

Étape 7

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + g (x)$

Étape 8

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y - x + 1$

Étape 9

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 9.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + g (x)] = 2 x y - x + 1$

Étape 9.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - x + 1$

Étape 9.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Étape 9.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - x + 1$

Étape 9.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - x + 1$

Étape 9.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - x + 1$

Étape 9.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 x y - x + 1$

Étape 9.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 x y - x + 1$

Étape 10

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 10.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.1.1

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y - x + 1 - 2 x y$

Étape 10.1.2

Associez les termes opposés dans $2 x y - x + 1 - 2 x y$ .

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Étape 10.1.2.1

Soustrayez $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = - x + 1 + 0$

Étape 10.1.2.2

Additionnez $- x + 1$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x + 1$

Étape 11

Déterminez la primitive de $- x + 1$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 11.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = - x + 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x + 1 d x$

Étape 11.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x + 1 d x$

Étape 11.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (x) = \int - x d x + \int d x$

Étape 11.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - \int x d x + \int d x$

Étape 11.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

Étape 11.6

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Étape 11.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

Étape 11.8

Simplifiez

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Étape 12

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Étape 13

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} y - \frac{x^{2}}{2} + x + C$