Calcul infinitésimal Exemples

$x \sin (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} = y \sin (\frac{y}{x}) + x$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $x \sin (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} = y \sin (\frac{y}{x}) + x$ par $x \sin (\frac{y}{x})$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \sin (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} = y \sin (\frac{y}{x}) + x$ par $x \sin (\frac{y}{x})$ .

$\frac{x \sin (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x}}{x \sin (\frac{y}{x})} = \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{x}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \sin (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x}}{x \sin (\frac{y}{x})} = \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{x}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x}}{\sin (\frac{y}{x})} = \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{x}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $\sin (\frac{y}{x})$ .

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x}}{\sin (\frac{y}{x})} = \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{x}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Étape 1.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{x}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Annulez le facteur commun de $\sin (\frac{y}{x})$ .

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Étape 1.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{x}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Étape 1.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Étape 1.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Étape 1.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{1}{\sin (\frac{y}{x})}$

Étape 1.3.1.3

Convertissez de $\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})}$ à $\csc (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \csc (\frac{y}{x})$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \csc (V)$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \csc (V)$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1.1.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = V + \csc (V) - V$

Étape 6.1.1.1.2

Associez les termes opposés dans $V + \csc (V) - V$ .

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Étape 6.1.1.1.2.1

Soustrayez $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \csc (V)$

Étape 6.1.1.1.2.2

Additionnez $0$ et $\csc (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} = \csc (V)$

Étape 6.1.1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \csc (V)$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \csc (V)$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\csc (V)}{x}$

Étape 6.1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\csc (V)}{x}$

Étape 6.1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\csc (V)}{x}$

Étape 6.1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\csc (V)}$ .

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun de $\csc (V)$ .

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Étape 6.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

Étape 6.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\csc (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\csc (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez

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Étape 6.2.2.1.1

Réécrivez $\csc (V)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (V)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (V)}$ .

$\int 1 \sin (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.1.3

Multipliez $\sin (V)$ par $1$ .

$\int \sin (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

L’intégrale de $\sin (V)$ par rapport à $V$ est $- \cos (V)$ .

$- \cos (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \cos (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \cos (V) = \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (V) = \ln (| x |) + C$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (V) = \ln (| x |) + C$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (V)}{- 1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 6.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (V)}{1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 6.3.1.2.2

Divisez $\cos (V)$ par $1$ .

$\cos (V) = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\cos (V) = - 1 \cdot \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Étape 6.3.1.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \ln (| x |)$ comme $- \ln (| x |)$ .

$\cos (V) = - \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Étape 6.3.1.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\cos (V) = - \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Étape 6.3.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\cos (V) = - \ln (| x |) - C$

Étape 6.3.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $V$ de l’intérieur du cosinus.

$V = \arccos (- \ln (| x |) - C)$

Étape 6.4

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = \arccos (- \ln (| x |) + C)$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \arccos (- \ln (| x |) + C)$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = \arccos (- \ln (| x |) + C)$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = \arccos (- \ln (| x |) + C) x$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = \arccos (- \ln (| x |) + C) x$

Étape 8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = \arccos (- \ln (| x |) + C) x$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\arccos (- \ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \arccos (- \ln (| x |) + C)$