Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (1 + 3 y)}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{1 + 3 y}$ .

$\frac{1}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{6 (1 + 3 y)}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $1 + 3 y$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $1 + 3 y$ à partir de $6 (1 + 3 y)$ .

$\frac{1}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{(1 + 3 y) \cdot 6}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{(1 + 3 y) \cdot 6}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{1 + 3 y} d y = \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{1 + 3 y} d y = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = 1 + 3 y$ . Alors $d u_{1} = 3 d y$ , donc $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = 1 + 3 y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $1 + 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + 3 y]$

Étape 2.2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 3 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [3 y]$

Étape 2.2.1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [3 y]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$0 + 3$

Étape 2.2.1.1.4

Additionnez $0$ et $3$ .

$3$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 3} d u_{1} = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + 3 y$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{2} = 1 + 2 x$ . Alors $d u_{2} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{2} = 1 + 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $1 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Étape 2.3.2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.3.2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.2.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Étape 2.3.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + 2$

Étape 2.3.2.1.4

Additionnez $0$ et $2$ .

$2$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \frac{6}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.1.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 2.3.5.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \frac{3}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.1.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.5.2.1

Retirez ${u_{2}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 3 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.5.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 3 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 3 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{- 2}$ par rapport à $u_{2}$ est $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Réécrivez $3 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ comme $3 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 3 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

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Étape 2.3.7.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = - 3 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \frac{- 3}{u_{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = - \frac{3}{u_{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + 2 x$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = - \frac{3}{1 + 2 x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) = - \frac{3}{1 + 2 x} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |)) = 3 (- \frac{3}{1 + 2 x} + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\ln (| 1 + 3 y |)$ .

$3 \frac{\ln (| 1 + 3 y |)}{3} = 3 (- \frac{3}{1 + 2 x} + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{\ln (| 1 + 3 y |)}{3} = 3 (- \frac{3}{1 + 2 x} + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 1 + 3 y |) = 3 (- \frac{3}{1 + 2 x} + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (- \frac{3}{1 + 2 x} + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + 2 x}{1 + 2 x}$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = 3 (- \frac{3}{1 + 2 x} + \frac{C (1 + 2 x)}{1 + 2 x})$

Étape 3.2.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| 1 + 3 y |) = 3 \frac{- 3 + C (1 + 2 x)}{1 + 2 x}$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 + 3 y |) = 3 \frac{- 3 + C \cdot 1 + C (2 x)}{1 + 2 x}$

Étape 3.2.2.1.3.2

Multipliez $C$ par $1$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = 3 \frac{- 3 + C + C (2 x)}{1 + 2 x}$

Étape 3.2.2.1.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\ln (| 1 + 3 y |) = 3 \frac{- 3 + C + 2 C x}{1 + 2 x}$

Étape 3.2.2.1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1.4.1

Associez $3$ et $\frac{- 3 + C + 2 C x}{1 + 2 x}$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = \frac{3 (- 3 + C + 2 C x)}{1 + 2 x}$

Étape 3.2.2.1.4.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = \frac{3 (- 1 (3) + C + 2 C x)}{1 + 2 x}$

Étape 3.2.2.1.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $C$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = \frac{3 (- 1 (3) - 1 (- C) + 2 C x)}{1 + 2 x}$

Étape 3.2.2.1.4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - 1 (- C)$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = \frac{3 (- 1 (3 - C) + 2 C x)}{1 + 2 x}$

Étape 3.2.2.1.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $2 C x$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = \frac{3 (- 1 (3 - C) - (- 2 C x))}{1 + 2 x}$

Étape 3.2.2.1.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3 - C) - (- 2 C x)$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = \frac{3 (- 1 (3 - C - 2 C x))}{1 + 2 x}$

Étape 3.2.2.1.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| 1 + 3 y |) = - \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 1 + 3 y |)} = e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (| 1 + 3 y |) = - \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}} = | 1 + 3 y |$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $| 1 + 3 y | = e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}$ .

$| 1 + 3 y | = e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}$

Étape 3.5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 + 3 y = \pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}$

Étape 3.5.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 y = \pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}} - 1$

Étape 3.5.4

Divisez chaque terme dans $3 y = \pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}} - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $3 y = \pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}} - 1$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Étape 3.5.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Étape 3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}} - 1}{3}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{3 (C + C x)}{1 + 2 x}} - 1}{3}$