Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 2}{y - 2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y - 2$ .

$(y - 2) \frac{d y}{d x} = (y - 2) \frac{x + 2}{y - 2}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y - 2$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$(y - 2) \frac{d y}{d x} = (y - 2) \frac{x + 2}{y - 2}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$(y - 2) \frac{d y}{d x} = x + 2$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(y - 2) d y = (x + 2) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y - 2 d y = \int x + 2 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y d y + \int - 2 d y = \int x + 2 d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 2 d y = \int x + 2 d x$

Étape 2.2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 2 y + C_{2} = \int x + 2 d x$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \int x + 2 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \int x d x + \int 2 d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int 2 d x$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + 2 x + C_{5}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + K$

Étape 3.3

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Soustrayez $\frac{x^{2}}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y - \frac{x^{2}}{2} = 2 x + K$

Étape 3.3.2

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y - \frac{x^{2}}{2} - 2 x = K$

Étape 3.3.3

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y - \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K = 0$

Étape 3.4

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- 2 x) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.4.2

Simplifiez

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- 2 x) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} + 2 (- 2 y) + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- 2 x) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$y^{2} - 4 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- 2 x) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{2}$ dans le numérateur.

$y^{2} - 4 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- 2 x) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} - 4 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- 2 x) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} - 4 y - x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$y^{2} - 4 y - x^{2} - 4 x + 2 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y^{2} - 4 y - x^{2} - 4 x - 2 K = 0$

Étape 3.4.3

Déplacez $- 4 y$ .

$y^{2} - x^{2} - 4 x - 2 K - 4 y = 0$

Étape 3.4.4

Déplacez $- 4 x$ .

$y^{2} - x^{2} - 2 K - 4 x - 4 y = 0$

Étape 3.4.5

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + y^{2} - 2 K - 4 x - 4 y = 0$

Étape 3.5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.6

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = - x^{2} - 2 K - 4 x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - 2 K - 4 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - 2 K - 4 x)$ .

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Étape 3.7.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - 2 K - 4 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - 2 K - 4 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x^{2} - 2 K - 4 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- x^{2} - 2 K - 4 x))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- x^{2} - 2 K - 4 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- x^{2} - 2 K - 4 x$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x^{2} - 2 K - 4 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.3

Réécrivez $- 4 - x^{2} - 2 K - 4 x$ en forme factorisée.

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Étape 3.7.1.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} - 2 K - 4 x$ .

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Étape 3.7.1.3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - (x^{2}) - 2 K - 4 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 K$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - (x^{2}) - (2 K) - 4 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - (x^{2}) - (2 K) - (4 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.3.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (2 K)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - (x^{2} + 2 K) - (4 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.3.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + 2 K) - (4 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - (x^{2} + 2 K + 4 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 - (x^{2} + 2 K + 4 x)$ .

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Étape 3.7.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $- 4$ et $- (x^{2} + 2 K + 4 x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (x^{2} + 2 K + 4 x) - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.3.2.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (x^{2} + 2 K + 4 x) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + 2 K + 4 x) - 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (x^{2} + 2 K + 4 x + 4))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 1 (x^{2} + 2 K + 4 x + 4))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.4

Associez les exposants.

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Étape 3.7.1.4.1

Factorisez le signe négatif.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- (- 4 (x^{2} + 2 K + 4 x + 4))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 2 K + 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.5

Réécrivez $4 (x^{2} + 2 K + 4 x + 4)$ comme $2^{2} (x^{2} + 2 K + 2^{2} x + 4)$ .

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Étape 3.7.1.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (x^{2} + 2 K + 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (x^{2} + 2 K + 2^{2} x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{x^{2} + 2 K + 2^{2} x + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{x^{2} + 2 K + 4 x + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{x^{2} + 2 K + 4 x + 4}}{2}$

Étape 3.7.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{x^{2} + 2 K + 4 x + 4}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{x^{2} + 2 K + 4 x + 4}$

Étape 3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 2 + \sqrt{x^{2} + 2 K + 4 x + 4}$

$y = 2 - \sqrt{x^{2} + 2 K + 4 x + 4}$

$y = 2 + \sqrt{x^{2} + 2 K + 4 x + 4}$

$y = 2 - \sqrt{x^{2} + 2 K + 4 x + 4}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = 2 + \sqrt{x^{2} + K + 4 x + 4}$

$y = 2 - \sqrt{x^{2} + K + 4 x + 4}$