Calcul infinitésimal Exemples

$(y^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

Étape 1

Écrivez le problème comme une expression mathématique.

$(y^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

Étape 2

Soustrayez $(y^{2} + 1) d x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} y^{2} d y = - (y^{2} + 1) d x$

Étape 3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Étape 4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Étape 4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2} + 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Étape 4.2

Associez $\frac{1}{y^{2} + 1}$ et $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Étape 4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $y^{2} + 1$ .

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Étape 4.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)}$ dans le numérateur.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Étape 4.4.2

Factorisez $y^{2} + 1$ à partir de $x^{2} (y^{2} + 1)$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x^{2}} (y^{2} + 1) d x$

Étape 4.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x^{2}} (y^{2} + 1) d x$

Étape 4.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

Étape 4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5

Intégrez les deux côtés.

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Étape 5.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Divisez $y^{2}$ par $y^{2} + 1$ .

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Étape 5.2.1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$y^{2}$

$0 y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$0$

Étape 5.2.1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $y^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y^{2}$ .

							$1$
	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$

Étape 5.2.1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					+	$y^{2}$	+	$0$	+	$1$

Étape 5.2.1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $y^{2} + 0 + 1$

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					-	$y^{2}$	-	$0$	-	$1$

Étape 5.2.1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					-	$y^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Étape 5.2.1.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 1 - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d y + \int - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5.2.3

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.5.1

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $1$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5.2.5.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\arctan (y) + C_{2}$ .

$y + C_{1} - (\arctan (y) + C_{2}) = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5.2.7

Simplifiez

$y - \arctan (y) + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5.3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.3.2.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 5.3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 5.3.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int x^{- 2} d x$

Étape 5.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4})$

Étape 5.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.3.4.1

Réécrivez $- (- x^{- 1} + C_{4})$ comme $- - \frac{1}{x} + C_{4}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - - \frac{1}{x} + C_{4}$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez

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Étape 5.3.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = 1 \frac{1}{x} + C_{4}$

Étape 5.3.4.2.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = \frac{1}{x} + C_{4}$

Étape 5.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y - \arctan (y) = \frac{1}{x} + K$