Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x} - 1}{e^{y}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{e^{x} - 1}{e^{y}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $e^{y}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{e^{x} - 1}{e^{y}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{x} - 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$e^{y} d y = (e^{x} - 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int e^{y} d y = \int e^{x} - 1 d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int e^{x} - 1 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$e^{y} + C_{1} = \int e^{x} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$e^{y} + C_{1} = e^{x} + C_{2} + \int - 1 d x$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$e^{y} + C_{1} = e^{x} + C_{2} - x + C_{3}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$e^{y} + C_{1} = e^{x} - x + C_{4}$

Étape 2.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{y} + C_{1} = - x + e^{x} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$e^{y} = - x + e^{x} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y}) = \ln (- x + e^{x} + K)$

Étape 3.2

Développez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Développez $\ln (e^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (e) = \ln (- x + e^{x} + K)$

Étape 3.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (- x + e^{x} + K)$

Étape 3.2.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \ln (- x + e^{x} + K)$