Calcul infinitésimal Exemples

$3 (y^{4} + 1) d x + 4 x y^{3} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $3 (y^{4} + 1) d x$ des deux côtés de l’équation.

$4 x y^{3} d y = - 3 (y^{4} + 1) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x (y^{4} + 1)}$ .

$\frac{1}{x (y^{4} + 1)} (4 x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Étape 3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{x (y^{4} + 1)}$ .

$\frac{4}{x (y^{4} + 1)} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x y^{3}$ .

$\frac{4}{x (y^{4} + 1)} (x (y^{3})) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{x (y^{4} + 1)} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{y^{4} + 1} y^{3} d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Étape 3.4

Associez $\frac{4}{y^{4} + 1}$ et $y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Étape 3.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = - 3 \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (y^{4} + 1) d x$

Étape 3.6

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x (y^{4} + 1)}$ .

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{x (y^{4} + 1)} (y^{4} + 1) d x$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun de $y^{4} + 1$ .

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Étape 3.7.1

Factorisez $y^{4} + 1$ à partir de $x (y^{4} + 1)$ .

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{(y^{4} + 1) x} (y^{4} + 1) d x$

Étape 3.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{(y^{4} + 1) x} (y^{4} + 1) d x$

Étape 3.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{x} d x$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = - \frac{3}{x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int \frac{y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Étape 4.2.2

Réécrivez $y^{4}$ comme ${(y^{4})}^{1}$ .

$4 \int \frac{y^{3}}{{(y^{4})}^{1} + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Étape 4.2.3

Laissez $u_{1} = y^{4}$ . Alors $d u_{1} = 4 y^{3} d y$ , donc $\frac{1}{4} d u_{1} = y^{3} d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.2.3.1

Laissez $u_{1} = y^{4}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 4.2.3.1.1

Différenciez $y^{4}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{4}]$

Étape 4.2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 y^{3}$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$4 \int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Étape 4.2.4

Simplifiez

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Étape 4.2.4.1

Simplifiez

$4 \int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $\frac{1}{u_{1} + 1}$ par $\frac{1}{4}$ .

$4 \int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Étape 4.2.4.3

Déplacez $4$ à gauche de $u_{1} + 1$ .

$4 \int \frac{1}{4 (u_{1} + 1)} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Étape 4.2.5

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}) = \int - \frac{3}{x} d x$

Étape 4.2.6

Simplifiez

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Étape 4.2.6.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Étape 4.2.6.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Étape 4.2.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Étape 4.2.6.3

Multipliez $\int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$ par $1$ .

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Étape 4.2.7

Laissez $u_{2} = u_{1} + 1$ . Puis $d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.2.7.1

Laissez $u_{2} = u_{1} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 4.2.7.1.1

Différenciez $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Étape 4.2.7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u_{1} + 1$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 4.2.7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 4.2.7.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.2.7.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2.7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{3}{x} d x$

Étape 4.2.8

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Étape 4.2.9

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 4.2.9.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $u_{1} + 1$ .

$\ln (| u_{1} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Étape 4.2.9.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y^{4}$ .

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

Étape 4.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 4.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 4.3.5

Simplifiez

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y^{4} + 1 |) = - 3 \ln (| x |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + 3 \ln (| x |) = C$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $\ln (| y^{4} + 1 |) + 3 \ln (| x |)$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $3 \ln (| x |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + \ln ({| x |}^{3}) = C$

Étape 5.2.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}) = C$

Étape 5.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y^{4} + 1 | {| x |}^{3})} = e^{C}$

Étape 5.4

Réécrivez $\ln (| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y^{4} + 1 | {| x |}^{3}$

Étape 5.5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$ .

$| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans $| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$ par ${| x |}^{3}$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$ par ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de ${| x |}^{3}$ .

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Étape 5.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Étape 5.5.2.2.1.2

Divisez $| y^{4} + 1 |$ par $1$ .

$| y^{4} + 1 | = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Étape 5.5.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y^{4} + 1 = \pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Étape 5.5.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y^{4} = \pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}} - 1$

Étape 5.5.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}} - 1}$

Étape 6

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm \frac{C}{{| x |}^{3}} - 1}$

Étape 6.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \pm \sqrt[4]{C \frac{1}{{| x |}^{3}} - 1}$