Calcul infinitésimal Exemples

$y d x + 3 x d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $y d x$ des deux côtés de l’équation.

$3 x d y = - y d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Étape 3.2

Associez $3$ et $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Étape 3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{1}{x y} y d x$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x y}$ dans le numérateur.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{x y} y d x$

Étape 3.5.2

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

Étape 3.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

Étape 3.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{3}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3

Simplifiez

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 4.3.3

Simplifiez

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$3 \ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$3 \ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $3 \ln (| y |) + \ln (| x |)$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $3 \ln (| y |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln (| x |) = C$

Étape 5.2.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{3} | x |) = C$

Étape 5.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln ({| y |}^{3} | x |)} = e^{C}$

Étape 5.4

Réécrivez $\ln ({| y |}^{3} | x |) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = {| y |}^{3} | x |$

Étape 5.5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme ${| y |}^{3} | x | = e^{C}$ .

${| y |}^{3} | x | = e^{C}$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans ${| y |}^{3} | x | = e^{C}$ par $| x |$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans ${| y |}^{3} | x | = e^{C}$ par $| x |$ .

$\frac{{| y |}^{3} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $| x |$ .

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Étape 5.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{| y |}^{3} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Étape 5.5.2.2.1.2

Divisez ${| y |}^{3}$ par $1$ .

${| y |}^{3} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Étape 5.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{| x |}}$

Étape 5.5.4

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{| x |}}$ .

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Étape 5.5.4.1

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{| x |}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$

Étape 5.5.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$

Étape 5.5.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{\sqrt[3]{| x |} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$

Étape 5.5.4.3.2

Élevez $\sqrt[3]{| x |}$ à la puissance $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{1} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$

Étape 5.5.4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{1 + 2}}$

Étape 5.5.4.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{3}}$

Étape 5.5.4.3.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{| x |}}^{3}$ comme $| x |$ .

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Étape 5.5.4.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{| x |}$ comme ${| x |}^{\frac{1}{3}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{({| x |}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 5.5.4.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 5.5.4.3.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.5.4.3.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.5.4.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.5.4.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{1}}$

Étape 5.5.4.3.5.5

Simplifiez

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{| x |}$

Étape 5.5.4.4

Réécrivez ${\sqrt[3]{| x |}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{| x |}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{{| x |}^{2}}}{| x |}$

Étape 5.5.4.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C} {| x |}^{2}}}{| x |}$

Étape 5.5.4.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{e^{C} {| x |}^{2}}}{| x |}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{{| x |}^{2} e^{C}}}{| x |}$

Étape 5.5.5

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{{| x |}^{2} e^{C}}}{| x |}$

Étape 5.5.6

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{C}}}{| x |}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{| x |}$