Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d θ} = \frac{1}{θ^{2}} - \csc (θ) \cot (θ)$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (\frac{1}{θ^{2}} - \csc (θ) \cot (θ)) d θ$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{1}{θ^{2}} - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{θ^{2}} - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{θ^{2}} d θ + \int - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

Étape 2.3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.2.1

Retirez $θ^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + C_{1} = \int {(θ^{2})}^{- 1} d θ + \int - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

Étape 2.3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(θ^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int θ^{2 \cdot - 1} d θ + \int - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

Étape 2.3.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = \int θ^{- 2} d θ + \int - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $θ^{- 2}$ par rapport à $θ$ est $- θ^{- 1}$ .

$y + C_{1} = - θ^{- 1} + C_{2} + \int - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $θ$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - θ^{- 1} + C_{2} - \int \csc (θ) \cot (θ) d θ$

Étape 2.3.5

Comme la dérivée de $- \csc (θ)$ est $\csc (θ) \cot (θ)$ , l’intégrale de $\csc (θ) \cot (θ)$ est $- \csc (θ)$ .

$y + C_{1} = - θ^{- 1} + C_{2} - (- \csc (θ) + C_{3})$

Étape 2.3.6

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Étape 2.3.6.1

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$y + C_{1} = - \frac{1}{θ} - - \csc (θ) + C_{4}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{θ} + 1 \csc (θ) + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2

Multipliez $\csc (θ)$ par $1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{θ} + \csc (θ) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - \frac{1}{θ} + \csc (θ) + K$