Calcul infinitésimal Exemples

$9 = \frac{9 d x (x - 2 x y)}{d y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Inversez les côtés pour obtenir $\frac{d x}{d y}$ du côté gauche.

$9 (x - 2 x y) \frac{d x}{d y} = 9$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $9 (x - 2 x y) \frac{d x}{d y} = 9$ par $9 (x - 2 x y)$ et simplifiez.

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Étape 1.2.1

Divisez chaque terme dans $9 (x - 2 x y) \frac{d x}{d y} = 9$ par $9 (x - 2 x y)$ .

$\frac{9 (x - 2 x y) \frac{d x}{d y}}{9 (x - 2 x y)} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 (x - 2 x y) \frac{d x}{d y}}{9 (x - 2 x y)} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

Étape 1.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 2 x y) \frac{d x}{d y}}{x - 2 x y} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

Étape 1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x - 2 x y$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 2 x y) \frac{d x}{d y}}{x - 2 x y} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

Étape 1.2.2.2.2

Divisez $\frac{d x}{d y}$ par $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d x}{d y} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

Étape 1.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x - 2 x y}$

Étape 1.2.3.2

Factorisez $x$ à partir de $x - 2 x y$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{1} - 2 x y}$

Étape 1.2.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x \cdot 1 - 2 x y}$

Étape 1.2.3.2.3

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x y$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x \cdot 1 + x (- 2 y)}$

Étape 1.2.3.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- 2 y)$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x (1 - 2 y)}$

Étape 1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 - 2 y}$

Étape 1.4

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$x \frac{d x}{d y} = x (\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 - 2 y})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{1 - 2 y}$ .

$x \frac{d x}{d y} = x \frac{1}{x (1 - 2 y)}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$x \frac{d x}{d y} = x \frac{1}{x (1 - 2 y)}$

Étape 1.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$x \frac{d x}{d y} = \frac{1}{1 - 2 y}$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation.

$x d x = \frac{1}{1 - 2 y} d y$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int x d x = \int \frac{1}{1 - 2 y} d y$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 y} d y$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = 1 - 2 y$ . Alors $d u = - 2 d y$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 1 - 2 y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $1 - 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - 2 y]$

Étape 2.3.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.3.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Étape 2.3.1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Étape 2.3.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Étape 2.3.1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.3.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Étape 2.3.1.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$0 - 2$

Étape 2.3.1.1.4

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- 2$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 2.3.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u} d u$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 2 y$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} x^{2} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\ln (| 1 - 2 y |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} = 2 (- \frac{\ln (| 1 - 2 y |)}{2} + C)$

Étape 3.2.2.1.2

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} = 2 (- \frac{\ln (| 1 - 2 y |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1.3.1

Associez $C$ et $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} = 2 (- \frac{\ln (| 1 - 2 y |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Étape 3.2.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} = 2 \frac{- \ln (| 1 - 2 y |) + C \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = 2 \frac{- \ln (| 1 - 2 y |) + C \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.2.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = - \ln (| 1 - 2 y |) + C \cdot 2$

Étape 3.2.2.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $C$ .

$x^{2} = - \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$x = \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + C}$