Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} - 1} y$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x^{2} - 1} y)$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $y$ à partir de $\frac{x}{x^{2} - 1} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} - 1})$

Étape 1.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} - 1})$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} - 1}$

Étape 1.3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} - 1^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = (x + 1) (x - 1)$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = (x + 1) (x - 1)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Étape 2.3.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.3.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.3.1.1.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.3.1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.3.1.1.3.4.2

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.3.1.1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.3.1.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.3.1.1.3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Étape 2.3.1.1.3.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.3.1.1.3.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Étape 2.3.1.1.3.8.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Étape 2.3.1.1.3.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Étape 2.3.1.1.3.8.4

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.3.1.1.3.8.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$2 x + 0$

Étape 2.3.1.1.3.8.4.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 2.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $(x + 1) (x - 1)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| (x + 1) (x - 1) |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| (x + 1) (x - 1) |)}{2} + C$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| (x + 1) (x - 1) |)}{2} = C$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x (x - 1) + 1 (x - 1) |)}{2} = C$

Étape 3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |)}{2} = C$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Étape 3.3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Étape 3.3.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Étape 3.3.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Étape 3.3.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Étape 3.3.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + x - 1 |)}{2} = C$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} + 0 - 1 |)}{2} = C$

Étape 3.3.2.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Étape 3.4

Pour écrire $\ln (| y |)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Étape 3.5

Simplifiez les termes.

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Étape 3.5.1

Associez $\ln (| y |)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Étape 3.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Étape 3.6

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Étape 3.7

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.1

Simplifiez $\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2}$ .

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Étape 3.7.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| y |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Étape 3.7.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\frac{\ln (y^{2}) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Étape 3.7.1.1.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 1 |})}{2} = C$

Étape 3.7.1.1.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.7.1.1.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 1^{2} |})}{2} = C$

Étape 3.7.1.1.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})}{2} = C$

Étape 3.7.1.1.4.3

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.7.1.1.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x (x - 1) + 1 (x - 1) |})}{2} = C$

Étape 3.7.1.1.4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |})}{2} = C$

Étape 3.7.1.1.4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |})}{2} = C$

Étape 3.7.1.1.4.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.7.1.1.4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.1.1.4.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |})}{2} = C$

Étape 3.7.1.1.4.4.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |})}{2} = C$

Étape 3.7.1.1.4.4.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |})}{2} = C$

Étape 3.7.1.1.4.4.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |})}{2} = C$

Étape 3.7.1.1.4.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - x + x - 1 |})}{2} = C$

Étape 3.7.1.1.4.4.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 0 - 1 |})}{2} = C$

Étape 3.7.1.1.4.4.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 1 |})}{2} = C$

Étape 3.7.1.1.4.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 1^{2} |})}{2} = C$

Étape 3.7.1.1.4.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})}{2} = C$

Étape 3.7.1.2

Réécrivez $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |}) = C$

Étape 3.7.1.3

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\ln ({(\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 3.7.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |}$ .

$\ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| (x + 1) (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.7.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.5.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.7.1.5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| (x + 1) (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.7.1.5.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.7.1.5.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| (x + 1) (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.7.1.5.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{y^{1}}{{| (x + 1) (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.7.1.5.2

Simplifiez

$\ln (\frac{y}{{| (x + 1) (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.7.1.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.7.1.6.1

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.7.1.6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (\frac{y}{{| x (x - 1) + 1 (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.7.1.6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (\frac{y}{{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.7.1.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (\frac{y}{{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.7.1.6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.7.1.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.1.6.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.7.1.6.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.7.1.6.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.7.1.6.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.7.1.6.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} - x + x - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.7.1.6.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 0 - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.7.1.6.2.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.8

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Étape 3.9

Réécrivez $\ln (\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.10

Résolvez $y$ .

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Étape 3.10.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Étape 3.10.2

Multipliez les deux côtés par ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.10.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.10.3.1

Annulez le facteur commun de ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.10.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.10.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = e^{C} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = C {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$