Calcul infinitésimal Exemples

$x e^{y} d y + (\frac{x^{2} + 1}{y}) d x = 0$

Étape 1

Soustrayez $\frac{x^{2} + 1}{y} d x$ des deux côtés de l’équation.

$x e^{y} d y = - \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} (x e^{y}) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x e^{y}$ .

$\frac{y}{x} (x (e^{y})) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} (x e^{y}) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$y e^{y} d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y e^{y} d y = - \frac{y}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{x}$ dans le numérateur.

$y e^{y} d y = \frac{- y}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

Étape 3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y e^{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun.

$y e^{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

Étape 3.3.4

Réécrivez l’expression.

$y e^{y} d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} + 1) d x$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y e^{y} d y = - \frac{1}{x} (x^{2} + 1) d x$

Étape 3.5

Appliquez la propriété distributive.

$y e^{y} d y = (- \frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x}$ dans le numérateur.

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Étape 3.6.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Étape 3.6.3

Annulez le facteur commun.

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Étape 3.6.4

Réécrivez l’expression.

$y e^{y} d y = (- x - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Étape 3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y e^{y} d y = (- x - \frac{1}{x}) d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y e^{y} d y = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = y$ et $d v = e^{y}$ .

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.2

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3

Simplifiez

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - (\ln (| x |) + C_{3})$

Étape 4.3.6

Simplifiez

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$e^{y} y - e^{y} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C$