Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = y^{- 2} \ln (x)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{- 2}}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} \ln (x))$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y^{- 2}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $y^{- 2}$ à partir de $y^{- 2} \ln (x)$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} (\ln (x)))$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} \ln (x))$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{- 2}} d y = \ln (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{- 2}} d y = \int \ln (x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Placez $y^{- 2}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int y^{2} d y = \int \ln (x) d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \ln (x) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Étape 2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int d x$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - (x + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - x + C_{2}$

Étape 2.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x \ln (x) - x + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = x \ln (x) - x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (x \ln (x) - x + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 (x \ln (x)) + 3 (- x) + 3 K$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y^{3} = 3 x \ln (x) - 3 x + 3 K$

Étape 3.3

Simplifiez $3 \ln (x)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$y^{3} = x \ln (x^{3}) - 3 x + 3 K$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{x \ln (x^{3}) - 3 x + 3 K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt[3]{x \ln (x^{3}) - 3 x + K}$