Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} - 12 y = 5 x + 8$

Étape 1

Supposez que toutes les solutions sont de la forme $y = e^{r x}$ .

Étape 2

Déterminez l’équation caractéristique pour $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} - 12 y = 5 x + 8$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Étape 2.3

Remplacez dans l’équation différentielle.

$r^{2} e^{r x} + r e^{r x} - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Étape 2.4

Factorisez $e^{r x}$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + r e^{r x} - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Étape 2.4.2

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} r - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Étape 2.4.3

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $e^{r x} r^{2} + e^{r x} r$ .

$e^{r x} (r^{2} + r) - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Étape 2.4.4

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $- 12 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} + r) + e^{r x} \cdot - 12 = 5 x + 8$

Étape 2.4.5

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $e^{r x} (r^{2} + r) + e^{r x} \cdot - 12$ .

$e^{r x} (r^{2} + r - 12) = 5 x + 8$

Étape 2.5

Comme les exponentielles ne peuvent jamais être nulles, divisez les deux côtés par $e^{r x}$ .

$r^{2} + r - 12 = 5 x + 8$

Étape 3

Résolvez $r$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1.1

Soustrayez $5 x$ des deux côtés de l’équation.

$r^{2} + r - 12 - 5 x = 8$

Étape 3.1.1.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$r^{2} + r - 12 - 5 x - 8 = 0$

Étape 3.1.2

Soustrayez $8$ de $- 12$ .

$r^{2} + r - 5 x - 20 = 0$

Étape 3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = - 5 x - 20$ dans la formule quadratique et résolvez pour $r$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 5 x - 20))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.4

Multipliez $- 5$ par $- 4$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.5

Multipliez $- 4$ par $- 20$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.6

Additionnez $1$ et $80$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.4

Multipliez $- 5$ par $- 4$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.5

Multipliez $- 4$ par $- 20$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.6

Additionnez $1$ et $80$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Étape 3.5.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$r = \frac{- 1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Étape 3.5.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Étape 3.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{20 x + 81}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Étape 3.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{20 x + 81})$ .

$r = \frac{- 1 (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Étape 3.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.4

Multipliez $- 5$ par $- 4$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5

Multipliez $- 4$ par $- 20$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.6

Additionnez $1$ et $80$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Étape 3.6.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$r = \frac{- 1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Étape 3.6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 - \sqrt{20 x + 81}$ .

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Étape 3.6.4.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Étape 3.6.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{20 x + 81}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{20 x + 81})}{2}$

Étape 3.6.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (\sqrt{20 x + 81})$ .

$r = \frac{- 1 (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Étape 3.6.4.4

Réécrivez $- 1 (1 + \sqrt{20 x + 81})$ comme $- (1 + \sqrt{20 x + 81})$ .

$r = \frac{- (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Étape 3.6.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Étape 3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Étape 4

Les deux valeurs déterminées de $r$ permettent de construire deux solutions.

$y_{1} = e^{- \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

$y_{2} = e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

Étape 5

D’après le principe de superposition, la solution générale est une combinaison linéaire des deux solutions pour une équation différentielle linéaire homogène du second ordre.

$y = c_{1} e^{- \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2} x} + c_{2} e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Associez $x$ et $\frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{x (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}} + c_{2} e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

Étape 6.2

Associez $x$ et $\frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{x (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}} + c_{2} e^{- \frac{x (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}}$