Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 3$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 7 \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.4

Simplifiez

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Étape 2.3.4.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.4.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 5 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

Étape 2.3.7

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

Étape 2.3.8

Simplifiez

$y + C_{1} = - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) - x + C_{5}$

Étape 2.3.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $3$ dans $y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C$ .

$3 = - 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C$

Étape 4

Résolvez $C$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$ .

$- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Étape 4.2

Simplifiez $- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Étape 4.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 5 \ln (1) + C = 3$

Étape 4.2.1.4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 5 \cdot 0 + C = 3$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $5$ par $0$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 0 + C = 3$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 1 - \frac{7}{2}$ et $0$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + C = 3$

Étape 4.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7}{2} + C = 3$

Étape 4.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{7}{2} + C = 3$

Étape 4.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 7}{2} + C = 3$

Étape 4.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 - 7}{2} + C = 3$

Étape 4.2.6.2

Soustrayez $7$ de $- 2$ .

$\frac{- 9}{2} + C = 3$

Étape 4.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9}{2} + C = 3$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Ajoutez $\frac{9}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$C = 3 + \frac{9}{2}$

Étape 4.3.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$C = 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2}$

Étape 4.3.3

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2}$

Étape 4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$C = \frac{3 \cdot 2 + 9}{2}$

Étape 4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$C = \frac{6 + 9}{2}$

Étape 4.3.5.2

Additionnez $6$ et $9$ .

$C = \frac{15}{2}$

Étape 5

Remplacez $C$ par $\frac{15}{2}$ dans $y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $C$ par $\frac{15}{2}$ .

$y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + \frac{15}{2}$

Étape 5.2

Simplifiez $5 \ln (| x |)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + \ln ({| x |}^{5}) + \frac{15}{2}$