Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d r}{d θ} = π \sin (π θ)$ , $r (1) = 2$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d r = π \sin (π θ) d θ$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d r = \int π \sin (π θ) d θ$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$r + C_{1} = \int π \sin (π θ) d θ$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $π$ est constant par rapport à $θ$ , placez $π$ en dehors de l’intégrale.

$r + C_{1} = π \int \sin (π θ) d θ$

Étape 2.3.2

Laissez $u = π θ$ . Alors $d u = π d θ$ , donc $\frac{1}{π} d u = d θ$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = π θ$ . Déterminez $\frac{d u}{d θ}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $π θ$ .

$\frac{d}{d θ} [π θ]$

Étape 2.3.2.1.2

Comme $π$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $π θ$ par rapport à $θ$ est $π \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$π \frac{d}{d θ} [θ]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Étape 2.3.2.1.4

Multipliez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$r + C_{1} = π \int \sin (u) \frac{1}{π} d u$

Étape 2.3.3

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{π}$ .

$r + C_{1} = π \int \frac{\sin (u)}{π} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{π}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$r + C_{1} = π (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u)$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{π}$ et $π$ .

$r + C_{1} = \frac{π}{π} \int \sin (u) d u$

Étape 2.3.5.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$r + C_{1} = \frac{π}{π} \int \sin (u) d u$

Étape 2.3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$r + C_{1} = 1 \int \sin (u) d u$

Étape 2.3.5.3

Multipliez $\int \sin (u) d u$ par $1$ .

$r + C_{1} = \int \sin (u) d u$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$r + C_{1} = - \cos (u) + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $π θ$ .

$r + C_{1} = - \cos (π θ) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$r = - \cos (π θ) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $θ$ par $1$ et $r$ par $2$ dans $r = - \cos (π θ) + K$ .

$2 = - \cos (π \cdot 1) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- \cos (π \cdot 1) + K = 2$ .

$- \cos (π \cdot 1) + K = 2$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$- \cos (π) + K = 2$

Étape 4.2.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- - \cos (0) + K = 2$

Étape 4.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- (- 1 \cdot 1) + K = 2$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 4.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- - 1 + K = 2$

Étape 4.2.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + K = 2$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$K = 2 - 1$

Étape 4.3.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$K = 1$

Étape 5

Remplacez $K$ par $1$ dans $r = - \cos (π θ) + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $1$ .

$r = - \cos (π θ) + 1$