Calcul infinitésimal Exemples

$t \frac{d y}{d t} - 5 t = - y$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ .

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Étape 1.1

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$t \frac{d y}{d t} - 5 t + y = 0$

Étape 1.2

Ajoutez $5 t$ aux deux côtés de l’équation.

$t \frac{d y}{d t} + y = 5 t$

Étape 2

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $t y$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = y$ .

$t \frac{d}{d t} [y] + y \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d t} [y]$ comme $y'$ .

$t y' + y \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$t y' + y \cdot 1$

Étape 2.4

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d t}$ .

$t \frac{d y}{d t} + y \cdot 1$

Étape 2.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $1$ .

$t \frac{d y}{d t} + 1 \cdot y$

Étape 2.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$t \frac{d y}{d t} + y$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [t y] = 5 t$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [t y] d t = \int 5 t d t$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$t y = \int 5 t d t$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$t y = 5 \int t d t$

Étape 6.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$t y = 5 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$

Étape 6.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.3.1

Réécrivez $5 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ comme $5 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ .

$t y = 5 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$

Étape 6.3.2

Associez $5$ et $\frac{1}{2}$ .

$t y = \frac{5}{2} t^{2} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $t y = \frac{5}{2} t^{2} + C$ par $t$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $t y = \frac{5}{2} t^{2} + C$ par $t$ .

$\frac{t y}{t} = \frac{\frac{5}{2} t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t y}{t} = \frac{\frac{5}{2} t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{5}{2} t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun à $t^{2}$ et $t$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Factorisez $t$ à partir de $\frac{5}{2} t^{2}$ .

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t} + \frac{C}{t}$

Étape 7.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.1.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t^{1}} + \frac{C}{t}$

Étape 7.3.1.1.2.2

Factorisez $t$ à partir de $t^{1}$ .

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

Étape 7.3.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

Étape 7.3.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\frac{5}{2} t}{1} + \frac{C}{t}$

Étape 7.3.1.1.2.5

Divisez $\frac{5}{2} t$ par $1$ .

$y = \frac{5}{2} t + \frac{C}{t}$

Étape 7.3.1.2

Associez $\frac{5}{2}$ et $t$ .

$y = \frac{5 t}{2} + \frac{C}{t}$