Calcul infinitésimal Exemples

$x (y d) y - (x^{2} + 2) d x = 0$

Étape 1

Ajoutez $(x^{2} + 2) d x$ aux deux côtés de l’équation.

$x y d y = (x^{2} + 2) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (x^{2} + 2) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{1}{x} (x (y)) d y = \frac{1}{x} (x^{2} + 2) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (x^{2} + 2) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$y d y = \frac{1}{x} (x^{2} + 2) d x$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $x^{2} + 2$ .

$y d y = \frac{x^{2} + 2}{x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{x^{2} + 2}{x} d x$

Étape 4.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 2}{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{2}{x} d x$

Étape 4.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Étape 4.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Étape 4.3.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Étape 4.3.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Étape 4.3.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Étape 4.3.3.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x + \int \frac{2}{x} d x$

Étape 4.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{2}{x} d x$

Étape 4.3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.6

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 (\ln (| x |) + C_{3})$

Étape 4.3.7

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

Étape 5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

Étape 5.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (2 \ln (| x |)) + 2 C$

Étape 5.2.2.1.3

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (2 \ln (| x |)) + 2 C$

Étape 5.2.2.1.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = x^{2} + 2 (2 \ln (| x |)) + 2 C$

Étape 5.2.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y^{2} = x^{2} + 4 \ln (| x |) + 2 C$

Étape 5.3

Simplifiez $4 \ln (| x |)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$y^{2} = x^{2} + \ln ({| x |}^{4}) + 2 C$

Étape 5.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln ({| x |}^{4}) + 2 C}$

Étape 5.5

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{4}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

Étape 5.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

Étape 5.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

Étape 5.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + C}$