Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{1}{x^{3}}$

Étape 1

intégrez les deux côtés par rapport à $x$ .

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Étape 1.1

La dérivée première est égale à l’intégrale de la dérivée seconde par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{d y}{d x} = - \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 1.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.3.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 1.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 1.3.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \int x^{- 3} d x$

Étape 1.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{1})$

Étape 1.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.5.1

Simplifiez

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Étape 1.5.1.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{1})$

Étape 1.5.1.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1})$

Étape 1.5.2

Simplifiez

$\frac{d y}{d x} = - - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}$

Étape 1.5.3

Simplifiez

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Étape 1.5.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}$

Étape 1.5.3.2

Multipliez $\frac{1}{2 x^{2}}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}$

Étape 2

Réécrivez l’équation.

$d y = (\frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}) d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1} d x$

Étape 3.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1} d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{2 x^{2}} d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.3.3.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 3.3.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int x^{- 2} d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2} (- x^{- 1} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.5

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{2} = \frac{1}{2} (- x^{- 1} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Étape 3.3.6

Simplifiez

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Étape 3.3.6.1

Simplifiez

$y + C_{2} = \frac{1}{2} (- \frac{1}{x}) + C_{1} x + C_{5}$

Étape 3.3.6.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{2} = - \frac{1}{2 x} + C_{1} x + C_{5}$

Étape 3.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{2} = C_{1} x - \frac{1}{2 x} + C_{5}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $D$ .

$y = C x - \frac{1}{2 x} + D$