Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{N}$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{1}{N} (2 (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N)$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 \frac{1}{N} ((1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N)$

Étape 1.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{N}$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{2}{N} ((1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N)$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $N$ .

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Étape 1.2.3.1

Factorisez $N$ à partir de $(1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{2}{N} (N (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})))$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{2}{N} (N (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})))$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 π t}{24}))$

Étape 1.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $24$ .

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Étape 1.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π t$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 (π t)}{24}))$

Étape 1.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 (π t)}{2 \cdot 12}))$

Étape 1.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 (π t)}{2 \cdot 12}))$

Étape 1.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{π t}{12}))$

Étape 1.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 \cdot 1 + 2 (- \cos (\frac{π t}{12}))$

Étape 1.2.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 + 2 (- \cos (\frac{π t}{12}))$

Étape 1.2.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 - 2 \cos (\frac{π t}{12})$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{N} d N = (2 - 2 \cos (\frac{π t}{12})) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{N} d N = \int 2 - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{N}$ par rapport à $N$ est $\ln (| N |)$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = \int 2 - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| N |) + C_{1} = \int 2 d t + \int - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} + \int - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

Étape 2.3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (\frac{π t}{12}) d t$

Étape 2.3.4

Laissez $u = \frac{π t}{12}$ . Alors $d u = \frac{π}{12} d t$ , donc $\frac{12}{π} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.4.1

Laissez $u = \frac{π t}{12}$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.3.4.1.1

Différenciez $\frac{π t}{12}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{π t}{12}]$

Étape 2.3.4.1.2

Comme $\frac{π}{12}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{π t}{12}$ par rapport à $t$ est $\frac{π}{12} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{π}{12} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.3.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{π}{12} \cdot 1$

Étape 2.3.4.1.4

Multipliez $\frac{π}{12}$ par $1$ .

$\frac{π}{12}$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (u) \frac{1}{\frac{π}{12}} d u$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{π}{12}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (u) (1 \frac{12}{π}) d u$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $\frac{12}{π}$ par $1$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (u) \frac{12}{π} d u$

Étape 2.3.5.3

Associez $\cos (u)$ et $\frac{12}{π}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \frac{\cos (u) \cdot 12}{π} d u$

Étape 2.3.5.4

Déplacez $12$ à gauche de $\cos (u)$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \frac{12 \cos (u)}{π} d u$

Étape 2.3.6

Comme $\frac{12}{π}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{12}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 (\frac{12}{π} \int \cos (u) d u)$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Associez $\frac{12}{π}$ et $- 2$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} + \frac{12 \cdot - 2}{π} \int \cos (u) d u$

Étape 2.3.7.2

Multipliez $12$ par $- 2$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} + \frac{- 24}{π} \int \cos (u) d u$

Étape 2.3.7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - \frac{24}{π} \int \cos (u) d u$

Étape 2.3.8

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - \frac{24}{π} (\sin (u) + C_{3})$

Étape 2.3.9

Simplifiez

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t - \frac{24}{π} \sin (u) + C_{4}$

Étape 2.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{π t}{12}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t - \frac{24}{π} \sin (\frac{π t}{12}) + C_{4}$

Étape 2.3.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + C_{4}$

Étape 2.3.12

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln (| N |) + C_{1} = - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| N |) = - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C$

Étape 3

Résolvez $N$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $N$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| N |)} = e^{- \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| N |) = - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C} = | N |$

Étape 3.3

Résolvez $N$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| N | = e^{- \frac{24}{π} \cdot \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C}$ .

$| N | = e^{- \frac{24}{π} \cdot \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1

Associez $\sin (\frac{π}{12} t)$ et $\frac{24}{π}$ .

$| N | = e^{- \frac{\sin (\frac{π}{12} t) \cdot 24}{π} + 2 t + C}$

Étape 3.3.2.2

Déplacez $24$ à gauche de $\sin (\frac{π}{12} t)$ .

$| N | = e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t + C}$

Étape 3.3.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$N = \pm e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t + C}$ comme $e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t} e^{C}$ .

$N = \pm e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t}$ et $e^{C}$ .

$N = \pm e^{C} e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$N = C e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t}$