Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 - 2 y}$

Étape 1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 - 2 y$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1) - 2 y}$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1) + 2 (- y)}$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- y)$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1 - y)}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $1$ .

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x) + C_{1}$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - y} d y$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 1 - y$ . Alors $d u = - d y$ , donc $- d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 1 - y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u} d u$

Étape 2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- (\ln (| u |) + C_{2}))$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Simplifiez

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- \ln (| u |)) + C_{2}$

Étape 2.3.6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{\ln (| u |)}{2} + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - y$ .

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\arctan (x) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$x = \tan (- \frac{1}{2} \cdot \ln (| 1 - y |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Multipliez $- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)$ .

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Étape 3.2.1.1

Remettez dans l’ordre $\ln (| 1 - y |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$x = \tan (- (\frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)) + C)$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$x = \tan (- \ln ({| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}) + C)$