Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} - y - 5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation comme $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1.1

Ajoutez $5 x^{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$x \frac{d y}{d x} - y - 3 x^{2} + 2 x = 5 x^{4}$

Étape 1.1.2

Ajoutez $3 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$x \frac{d y}{d x} - y + 2 x = 5 x^{4} + 3 x^{2}$

Étape 1.1.3

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d y}{d x} - y = 5 x^{4} + 3 x^{2} - 2 x$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} - y = 5 x^{4} + 3 x^{2} - 2 x$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{5 x^{4}}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{5 x^{4}}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Étape 1.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{5 x^{4}}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (5 x^{3})}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (5 x^{3})}{x^{1}} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Étape 1.4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (5 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Étape 1.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (5 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Étape 1.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{5 x^{3}}{1} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Étape 1.4.2.5

Divisez $5 x^{3}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.5.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + \frac{x (3 x)}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Étape 1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + \frac{x (3 x)}{x^{1}} + \frac{- 2 x}{x}$

Étape 1.5.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + \frac{x (3 x)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x}{x}$

Étape 1.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + \frac{x (3 x)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x}{x}$

Étape 1.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + \frac{3 x}{1} + \frac{- 2 x}{x}$

Étape 1.5.2.5

Divisez $3 x$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + 3 x + \frac{- 2 x}{x}$

Étape 1.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + 3 x + \frac{- 2 x}{x}$

Étape 1.6.2

Divisez $- 2$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + 3 x - 2$

Étape 1.7

Factorisez $y$ à partir de $\frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = 5 x^{3} + 3 x - 2$

Étape 1.8

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = 5 x^{3} + 3 x - 2$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{- 1}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 1}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.2.5

Multipliez $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $\frac{y}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.2.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.2.5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 \frac{1}{x} x^{3} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.3.2

Associez $5$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{5}{x} x^{3} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{5}{x} (x \cdot x^{2}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{5}{x} (x \cdot x^{2}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + 3 \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.3.5

Associez $3$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + \frac{3}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.3.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + \frac{3}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + 3 + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Étape 3.3.7

Associez $\frac{1}{x}$ et $- 2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + 3 + \frac{- 2}{x}$

Étape 3.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + 3 - \frac{2}{x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = 5 x^{2} + 3 - \frac{2}{x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int 5 x^{2} + 3 - \frac{2}{x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x} y = \int 5 x^{2} + 3 - \frac{2}{x} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{x} y = \int 5 x^{2} d x + \int 3 d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 7.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x} y = 5 \int x^{2} d x + \int 3 d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 7.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 3 d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 7.4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 x + C + \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 7.5

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 x + C + \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 7.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 x + C - \int \frac{2}{x} d x$

Étape 7.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 x + C - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 7.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 x + C - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.9

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 x + C - 2 (\ln (| x |) + C)$

Étape 7.10

Simplifiez

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Étape 7.10.1

Simplifiez

$\frac{1}{x} y = \frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - 2 \ln (| x |) + C$

Étape 7.10.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{x} y = \frac{5}{3} x^{3} + 3 x - 2 \ln (| x |) + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$\frac{y}{x} = \frac{5}{3} x^{3} + 3 x - 2 \ln (| x |) + C$

Étape 8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1

Associez $\frac{5}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{y}{x} = \frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - 2 \ln (| x |) + C$

Étape 8.2.2

Simplifiez $- 2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{y}{x} = \frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - \ln ({| x |}^{2}) + C$

Étape 8.2.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\frac{y}{x} = \frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - \ln (x^{2}) + C$

Étape 8.3

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - \ln (x^{2}) + C) x$

Étape 8.4

Simplifiez

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Étape 8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = (\frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - \ln (x^{2}) + C) x$

Étape 8.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - \ln (x^{2}) + C) x$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.1

Simplifiez $(\frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - \ln (x^{2}) + C) x$ .

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Étape 8.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{5 x^{3}}{3} x + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Étape 8.4.2.1.2

Simplifiez

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Étape 8.4.2.1.2.1

Multipliez $\frac{5 x^{3}}{3} x$ .

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Étape 8.4.2.1.2.1.1

Associez $\frac{5 x^{3}}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{5 x^{3} x}{3} + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Étape 8.4.2.1.2.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{5 (x^{1} x^{3})}{3} + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Étape 8.4.2.1.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{5 x^{1 + 3}}{3} + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Étape 8.4.2.1.2.1.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$y = \frac{5 x^{4}}{3} + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Étape 8.4.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.2.1.2.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{5 x^{4}}{3} + 3 (x \cdot x) - \ln (x^{2}) x + C x$

Étape 8.4.2.1.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{5 x^{4}}{3} + 3 x^{2} - \ln (x^{2}) x + C x$

Étape 8.4.2.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{5 x^{4}}{3} + 3 x^{2} - \ln (x^{2}) x + C x$ .

$y = \frac{5 x^{4}}{3} + 3 x^{2} - x \ln (x^{2}) + C x$

Étape 8.4.2.1.4

Déplacez $- x \ln (x^{2})$ .

$y = \frac{5 x^{4}}{3} + 3 x^{2} + C x - x \ln (x^{2})$