Calcul infinitésimal Exemples

$x \sqrt{1 + y^{2}} d x = y \sqrt{1 + x^{2}} d y$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$y \sqrt{1 + x^{2}} d y = x \sqrt{1 + y^{2}} d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.2.2

Élevez $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1} \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.2.3

Élevez $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1} {\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1 + 1}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{2}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{2}$ comme $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

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Étape 3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ comme ${((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{({((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{2}{2}}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{2}{2}}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{1}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.2.6.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y \sqrt{1 + x^{2}})$ .

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Étape 3.3.1

Associez $y$ et $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{y \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{y \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ et $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{y \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{1 + x^{2}}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.3.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{y \sqrt{(1 + x^{2}) ((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.3.4

Élevez $1 + x^{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{y \sqrt{{(1 + x^{2})}^{1} (1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.3.5

Élevez $1 + x^{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{y \sqrt{{(1 + x^{2})}^{1} {(1 + x^{2})}^{1} (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y \sqrt{{(1 + x^{2})}^{1 + 1} (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y \sqrt{{(1 + x^{2})}^{2} (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{y \sqrt{{(1^{2} + x^{2})}^{2} (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{y ((1^{2} + x^{2}) \sqrt{1 + y^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{y ((1 + x^{2}) \sqrt{1 + y^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y (1 \sqrt{1 + y^{2}} + x^{2} \sqrt{1 + y^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.4.5

Multipliez $\sqrt{1 + y^{2}}$ par $1$ .

$\frac{y (\sqrt{1 + y^{2}} + x^{2} \sqrt{1 + y^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.4.6

Factorisez $\sqrt{1 + y^{2}}$ à partir de $\sqrt{1 + y^{2}} + x^{2} \sqrt{1 + y^{2}}$ .

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Étape 3.4.6.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{y (\sqrt{1 + y^{2}} \cdot 1 + x^{2} \sqrt{1 + y^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.4.6.2

Factorisez $\sqrt{1 + y^{2}}$ à partir de $x^{2} \sqrt{1 + y^{2}}$ .

$\frac{y (\sqrt{1 + y^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + y^{2}} x^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.4.6.3

Factorisez $\sqrt{1 + y^{2}}$ à partir de $\sqrt{1 + y^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + y^{2}} x^{2}$ .

$\frac{y (\sqrt{1 + y^{2}} (1 + x^{2}))}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}} (1 + x^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $1 + x^{2}$ .

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Étape 3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}} (1 + x^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.7.2

Élevez $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ à la puissance $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1} \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.7.3

Élevez $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ à la puissance $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1} {\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1 + 1}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{2}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.7.6

Réécrivez ${\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{2}$ comme $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

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Étape 3.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ comme ${((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{({((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{1}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.7.6.5

Simplifiez

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Étape 3.8

Multipliez $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x \sqrt{1 + y^{2}})$ .

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Étape 3.8.1

Associez $x$ et $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{1 + y^{2}} d x$

Étape 3.8.2

Associez $\frac{x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ et $\sqrt{1 + y^{2}}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{1 + y^{2}}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Étape 3.8.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{x \sqrt{(1 + y^{2}) ((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Étape 3.8.4

Élevez $1 + y^{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{x \sqrt{{(1 + y^{2})}^{1} (1 + y^{2}) (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Étape 3.8.5

Élevez $1 + y^{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{x \sqrt{{(1 + y^{2})}^{1} {(1 + y^{2})}^{1} (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Étape 3.8.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{x \sqrt{{(1 + y^{2})}^{1 + 1} (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Étape 3.8.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{x \sqrt{{(1 + y^{2})}^{2} (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Étape 3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{x \sqrt{{(1^{2} + y^{2})}^{2} (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Étape 3.9.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{x ((1^{2} + y^{2}) \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Étape 3.9.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{x ((1 + y^{2}) \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Étape 3.9.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{x (1 \sqrt{1 + x^{2}} + y^{2} \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Étape 3.9.5

Multipliez $\sqrt{1 + x^{2}}$ par $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{x (\sqrt{1 + x^{2}} + y^{2} \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Étape 3.9.6

Factorisez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à partir de $\sqrt{1 + x^{2}} + y^{2} \sqrt{1 + x^{2}}$ .

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Étape 3.9.6.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{x (\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 + y^{2} \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Étape 3.9.6.2

Factorisez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à partir de $y^{2} \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{x (\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + x^{2}} y^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Étape 3.9.6.3

Factorisez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à partir de $\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + x^{2}} y^{2}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{x (\sqrt{1 + x^{2}} (1 + y^{2}))}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (1 + y^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Étape 3.10

Annulez le facteur commun de $1 + y^{2}$ .

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Étape 3.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (1 + y^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Étape 3.10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Laissez $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.2.1.1

Laissez $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Étape 4.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 4.2.1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 4.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Étape 4.2.1.1.5

Additionnez $0$ et $2 y$ .

$2 y$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.4.2.1

Placez ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1} \cdot {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.4.2.2

Multipliez $u_{1}$ par ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.4.2.2.1

Multipliez $u_{1}$ par ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.2.4.2.2.1.1

Élevez $u_{1}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{1} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.4.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.4.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.4.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.4.2.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.4.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.2.4.3.1

Retirez ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.4.3.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.4.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.4.3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.4.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.6

Simplifiez

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Étape 4.2.6.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ comme $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.6.2

Simplifiez

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Étape 4.2.6.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.6.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.6.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.6.2.3

Multipliez ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

${u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + y^{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Laissez $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Alors $d u_{2} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Laissez $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 4.3.1.1.1

Différenciez $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 4.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.3.1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.3.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 4.3.1.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 4.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 4.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{2}}$ comme ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.1

Placez ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 4.3.4.2.2

Multipliez $u_{2}$ par ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.2.1

Multipliez $u_{2}$ par ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.2.1.1

Élevez $u_{2}$ à la puissance $1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 4.3.4.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 4.3.4.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 4.3.4.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

Étape 4.3.4.2.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Étape 4.3.4.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.3.4.3.1

Retirez ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Étape 4.3.4.3.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.4.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Étape 4.3.4.3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.4.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Étape 4.3.6

Simplifiez

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Étape 4.3.6.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ comme $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.6.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.6.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.6.2.2.2

Réécrivez l’expression.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 1 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.6.2.3

Multipliez ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + x^{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$