Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 8 x \sqrt{16 - y^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} (8 x \sqrt{16 - y^{2}})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Étape 1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{\sqrt{4^{2} - y^{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Étape 1.2.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Étape 1.2.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ par $\frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 (\frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}} \cdot \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}) (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Étape 1.2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ par $\frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Étape 1.2.4.2

Élevez $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Étape 1.2.4.3

Élevez $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Étape 1.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Étape 1.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Étape 1.2.4.6

Réécrivez ${\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2}$ comme $(4 + y) (4 - y)$ .

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Étape 1.2.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ comme ${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Étape 1.2.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Étape 1.2.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Étape 1.2.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Étape 1.2.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{1}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Étape 1.2.4.6.5

Simplifiez

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Étape 1.2.5

Associez $8$ et $\frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Étape 1.2.6

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{4^{2} - y^{2}})$

Étape 1.2.7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{(4 + y) (4 - y)})$

Étape 1.2.8

Multipliez $\frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{(4 + y) (4 - y)})$ .

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Étape 1.2.8.1

Associez $x$ et $\frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)})}{(4 + y) (4 - y)} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.8.2

Associez $\frac{x (8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)})}{(4 + y) (4 - y)}$ et $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}) \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.8.3

Élevez $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 ({\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}))}{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.8.4

Élevez $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 ({\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1}))}{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.8.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1 + 1})}{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.8.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.9.1

Réécrivez ${\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2}$ comme $(4 + y) (4 - y)$ .

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Étape 1.2.9.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ comme ${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.9.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.9.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.9.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.9.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.9.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{1}}{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.9.1.5

Simplifiez

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 ((4 + y) (4 - y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.9.2

Développez $(4 + y) (4 - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.9.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 (4 - y) + y (4 - y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.9.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 \cdot 4 + 4 (- y) + y (4 - y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.9.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 \cdot 4 + 4 (- y) + y \cdot 4 + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.9.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.9.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.9.3.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 + 4 (- y) + y \cdot 4 + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.9.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + y \cdot 4 + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.9.3.1.3

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 \cdot y + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.9.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 y - y \cdot y)}{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.9.3.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.9.3.1.5.1

Déplacez $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 y - (y \cdot y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.9.3.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 y - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.9.3.2

Additionnez $- 4 y$ et $4 y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 + 0 - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.9.3.3

Additionnez $16$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.9.4

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4^{2} - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.9.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 + y) (4 - y)}{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.10

Annulez le facteur commun de $4 + y$ .

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Étape 1.2.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 + y) (4 - y)}{(4 + y) (4 - y)}$

Étape 1.2.10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 - y)}{4 - y}$

Étape 1.2.11

Annulez le facteur commun de $4 - y$ .

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Étape 1.2.11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 - y)}{4 - y}$

Étape 1.2.11.2

Divisez $x \cdot 8$ par $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 8$

Étape 1.2.12

Déplacez $8$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 x$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} d y = 8 x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} d y = \int 8 x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - y^{2}}} d y = \int 8 x d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - y^{2}}}$ par rapport à $y$ est $\arcsin (\frac{y}{4})$

$\arcsin (\frac{y}{4}) + C_{1} = \int 8 x d x$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\arcsin (\frac{y}{4}) + C_{1}$ comme $\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1}$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \int 8 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 8 \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $8$ et $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{8}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{4}{1} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 4 x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) = 4 x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Prenez l’arc sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc sinus.

$\frac{1}{4} y = \sin (4 x^{2} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $y$ .

$\frac{y}{4} = \sin (4 x^{2} + K)$

Étape 3.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 \sin (4 x^{2} + K)$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{y}{4} = 4 \sin (4 x^{2} + K)$

Étape 3.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 4 \sin (4 x^{2} + K)$