Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Associez $\frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}}$ et $x^{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{(x^{3} - 21 x) x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} x^{3} - 21 x \cdot x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Étape 2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3 + 3} - 21 x \cdot x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Étape 2.3.4

Additionnez $3$ et $3$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x \cdot x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Étape 2.3.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 (x^{1} x^{3})}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Étape 2.3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{1 + 3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Étape 2.3.7

Additionnez $1$ et $3$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Étape 2.3.8

Remettez dans l’ordre $5$ et $4 x$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{4 x + 5 - x^{2}} d x$

Étape 2.3.9

Déplacez $5$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{4 x - x^{2} + 5} d x$

Étape 2.3.10

Remettez dans l’ordre $4 x$ et $- x^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Étape 2.3.11

Divisez $x^{6} - 21 x^{4}$ par $- x^{2} + 4 x + 5$ .

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Étape 2.3.11.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 2.3.11.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{6}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $- x^{2}$ .

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 2.3.11.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

Étape 2.3.11.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{6} - 4 x^{5} - 5 x^{4}$

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

Étape 2.3.11.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

Étape 2.3.11.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

Étape 2.3.11.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{5}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $- x^{2}$ .

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

Étape 2.3.11.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

Étape 2.3.11.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{5} - 16 x^{4} - 20 x^{3}$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

Étape 2.3.11.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

Étape 2.3.11.11

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

Étape 2.3.11.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $20 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $- x^{2}$ .

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

Étape 2.3.11.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

Étape 2.3.11.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $20 x^{3} - 80 x^{2} - 100 x$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

Étape 2.3.11.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

Étape 2.3.11.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

Étape 2.3.11.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $80 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $- x^{2}$ .

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

Étape 2.3.11.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

$80 x^{2}$

$320 x$

$400$

Étape 2.3.11.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $80 x^{2} - 320 x - 400$

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

$80 x^{2}$

$320 x$

$400$

Étape 2.3.11.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

$80 x^{2}$

$320 x$

$400$

$420 x$

$400$

Étape 2.3.11.21

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$y + C_{1} = \int - x^{4} - 4 x^{3} - 20 x - 80 + \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Étape 2.3.12

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int - x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Étape 2.3.13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - \int x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Étape 2.3.14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + \int - 4 x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Étape 2.3.15

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 \int x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Étape 2.3.16

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Étape 2.3.17

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 20$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 \int x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Étape 2.3.18

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Étape 2.3.19

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Étape 2.3.20

Simplifiez

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Étape 2.3.20.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Étape 2.3.20.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Étape 2.3.21

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 2.3.21.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 2.3.21.1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 2.3.21.1.1.1

Factorisez $20$ à partir de $420 x + 400$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.1.1.1.1

Factorisez $20$ à partir de $420 x$ .

$\frac{20 (21 x) + 400}{- x^{2} + 4 x + 5}$

Étape 2.3.21.1.1.1.2

Factorisez $20$ à partir de $400$ .

$\frac{20 (21 x) + 20 (20)}{- x^{2} + 4 x + 5}$

Étape 2.3.21.1.1.1.3

Factorisez $20$ à partir de $20 (21 x) + 20 (20)$ .

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} + 4 x + 5}$

Étape 2.3.21.1.1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.3.21.1.1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 5 = - 5$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 2.3.21.1.1.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} + 4 (x) + 5}$

Étape 2.3.21.1.1.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $- 1$ plus $5$

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} + (- 1 + 5) x + 5}$

Étape 2.3.21.1.1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} - 1 x + 5 x + 5}$

Étape 2.3.21.1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.1.1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{20 (21 x + 20)}{(- x^{2} - 1 x) + 5 x + 5}$

Étape 2.3.21.1.1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{20 (21 x + 20)}{x (- x - 1) - 5 (- x - 1)}$

Étape 2.3.21.1.1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 1$ .

$\frac{20 (21 x + 20)}{(- x - 1) (x - 5)}$

Étape 2.3.21.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{- x - 1}$

Étape 2.3.21.1.3

$\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$

Étape 2.3.21.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(- x - 1) (x - 5)$ .

$\frac{20 (21 x + 20) (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Étape 2.3.21.1.5

Annulez le facteur commun de $- x - 1$ .

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Étape 2.3.21.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{20 (21 x + 20) (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Étape 2.3.21.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{20 (21 x + 20) (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Étape 2.3.21.1.6

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{20 (21 x + 20) (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Étape 2.3.21.1.6.2

Divisez $20 (21 x + 20)$ par $1$ .

$20 (21 x + 20) = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Étape 2.3.21.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$20 (21 x) + 20 \cdot 20 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Étape 2.3.21.1.8

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.1.8.1

Multipliez $21$ par $20$ .

$420 x + 20 \cdot 20 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Étape 2.3.21.1.8.2

Multipliez $20$ par $20$ .

$420 x + 400 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Étape 2.3.21.1.9

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.1.9.1

Annulez le facteur commun de $- x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.1.9.1.1

Annulez le facteur commun.

$420 x + 400 = \frac{A (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Étape 2.3.21.1.9.1.2

Divisez $(A) (x - 5)$ par $1$ .

$420 x + 400 = (A) (x - 5) + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Étape 2.3.21.1.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$420 x + 400 = A x + A \cdot - 5 + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Étape 2.3.21.1.9.3

Déplacez $- 5$ à gauche de $A$ .

$420 x + 400 = A x - 5 \cdot A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Étape 2.3.21.1.9.4

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.1.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$420 x + 400 = A x - 5 A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Étape 2.3.21.1.9.4.2

Divisez $(B) (- x - 1)$ par $1$ .

$420 x + 400 = A x - 5 A + (B) (- x - 1)$

Étape 2.3.21.1.9.5

Appliquez la propriété distributive.

$420 x + 400 = A x - 5 A + B (- x) + B \cdot - 1$

Étape 2.3.21.1.9.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$420 x + 400 = A x - 5 A - B x + B \cdot - 1$

Étape 2.3.21.1.9.7

Déplacez $- 1$ à gauche de $B$ .

$420 x + 400 = A x - 5 A - B x - 1 \cdot B$

Étape 2.3.21.1.9.8

Réécrivez $- 1 B$ comme $- B$ .

$420 x + 400 = A x - 5 A - B x - B$

Étape 2.3.21.1.10

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.1.10.1

Déplacez $B$ .

$420 x + 400 = A x - 5 A - x B - B$

Étape 2.3.21.1.10.2

Déplacez $- 5 A$ .

$420 x + 400 = A x - x B - 5 A - B$

Étape 2.3.21.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$420 = A - 1 B$

Étape 2.3.21.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$400 = - 5 A - 1 B$

Étape 2.3.21.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$420 = A - 1 B$

$400 = - 5 A - 1 B$

$420 = A - 1 B$

$400 = - 5 A - 1 B$

Étape 2.3.21.3

Résolvez le système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.3.1

Résolvez $A$ dans $420 = A - 1 B$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $A - 1 B = 420$ .

$A - 1 B = 420$

$400 = - 5 A - 1 B$

Étape 2.3.21.3.1.2

Réécrivez $- 1 B$ comme $- B$ .

$A - B = 420$

$400 = - 5 A - 1 B$

Étape 2.3.21.3.1.3

Ajoutez $B$ aux deux côtés de l’équation.

$A = 420 + B$

$400 = - 5 A - 1 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 5 A - 1 B$

Étape 2.3.21.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $420 + B$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $400 = - 5 A - 1 B$ par $420 + B$ .

$400 = - 5 (420 + B) - 1 B$

$A = 420 + B$

Étape 2.3.21.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.3.2.2.1

Simplifiez $- 5 (420 + B) - 1 B$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$400 = - 5 \cdot 420 - 5 B - 1 B$

$A = 420 + B$

Étape 2.3.21.3.2.2.1.1.2

Multipliez $- 5$ par $420$ .

$400 = - 2100 - 5 B - 1 B$

$A = 420 + B$

Étape 2.3.21.3.2.2.1.1.3

Réécrivez $- 1 B$ comme $- B$ .

$400 = - 2100 - 5 B - B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 5 B - B$

$A = 420 + B$

Étape 2.3.21.3.2.2.1.2

Soustrayez $B$ de $- 5 B$ .

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

Étape 2.3.21.3.3

Résolvez $B$ dans $400 = - 2100 - 6 B$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- 2100 - 6 B = 400$ .

$- 2100 - 6 B = 400$

$A = 420 + B$

Étape 2.3.21.3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.3.3.2.1

Ajoutez $2100$ aux deux côtés de l’équation.

$- 6 B = 400 + 2100$

$A = 420 + B$

Étape 2.3.21.3.3.2.2

Additionnez $400$ et $2100$ .

$- 6 B = 2500$

$A = 420 + B$

$- 6 B = 2500$

$A = 420 + B$

Étape 2.3.21.3.3.3

Divisez chaque terme dans $- 6 B = 2500$ par $- 6$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 6 B = 2500$ par $- 6$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

Étape 2.3.21.3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

Étape 2.3.21.3.3.3.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

Étape 2.3.21.3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.3.3.3.3.1

Annulez le facteur commun à $2500$ et $- 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.3.3.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2500$ .

$B = \frac{2 (1250)}{- 6}$

$A = 420 + B$

Étape 2.3.21.3.3.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.3.3.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$B = \frac{2 \cdot 1250}{2 \cdot - 3}$

$A = 420 + B$

Étape 2.3.21.3.3.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$B = \frac{2 \cdot 1250}{2 \cdot - 3}$

$A = 420 + B$

Étape 2.3.21.3.3.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$B = \frac{1250}{- 3}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{1250}{- 3}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{1250}{- 3}$

$A = 420 + B$

Étape 2.3.21.3.3.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

Étape 2.3.21.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $- \frac{1250}{3}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $A = 420 + B$ par $- \frac{1250}{3}$ .

$A = 420 - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Étape 2.3.21.3.4.2

Simplifiez $A = 420 - \frac{1250}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.3.4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.3.4.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$A = 420 - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Étape 2.3.21.3.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.3.4.2.2.1

Simplifiez $420 - \frac{1250}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.3.4.2.2.1.1

Pour écrire $420$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$A = 420 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Étape 2.3.21.3.4.2.2.1.2

Associez $420$ et $\frac{3}{3}$ .

$A = \frac{420 \cdot 3}{3} - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Étape 2.3.21.3.4.2.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A = \frac{420 \cdot 3 - 1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Étape 2.3.21.3.4.2.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.3.4.2.2.1.4.1

Multipliez $420$ par $3$ .

$A = \frac{1260 - 1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Étape 2.3.21.3.4.2.2.1.4.2

Soustrayez $1250$ de $1260$ .

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Étape 2.3.21.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$A = \frac{10}{3}, B = - \frac{1250}{3}$

Étape 2.3.21.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{\frac{10}{3}}{- x - 1} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Étape 2.3.21.5

Simplifiez

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Étape 2.3.21.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{- x - 1} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Étape 2.3.21.5.2

Multipliez $\frac{10}{3}$ par $\frac{1}{- x - 1}$ .

$\frac{10}{3 (- x - 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Étape 2.3.21.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{10}{3 (- (x) - 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Étape 2.3.21.5.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{10}{3 (- (x) - 1 \cdot 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Étape 2.3.21.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{10}{3 (- (x + 1))} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Étape 2.3.21.5.6

Réécrivez les nombres négatifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.21.5.6.1

Réécrivez $- (x + 1)$ comme $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{10}{3 (- 1 (x + 1))} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Étape 2.3.21.5.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{10}{3 (x + 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Étape 2.3.21.5.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{10}{3 (x + 1)} - \frac{1250}{3} \cdot \frac{1}{x - 5}$

Étape 2.3.21.5.8

Multipliez $\frac{1}{x - 5}$ par $\frac{1250}{3}$ .

$- \frac{10}{3 (x + 1)} - \frac{1250}{(x - 5) \cdot 3}$

Étape 2.3.21.5.9

Déplacez $3$ à gauche de $x - 5$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int - \frac{10}{3 (x + 1)} - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Étape 2.3.22

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int - \frac{10}{3 (x + 1)} d x + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Étape 2.3.23

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int - \frac{10}{3 (x + 1)} d x + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Étape 2.3.24

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \int \frac{10}{3 (x + 1)} d x + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Étape 2.3.25

Comme $\frac{10}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{10}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - (\frac{10}{3} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Étape 2.3.26

Laissez $u_{1} = x + 1$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.3.26.1

Laissez $u_{1} = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.3.26.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.3.26.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.26.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.26.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.26.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.26.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Étape 2.3.27

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Étape 2.3.28

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - \int \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Étape 2.3.29

Comme $\frac{1250}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1250}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - (\frac{1250}{3} \int \frac{1}{x - 5} d x)$

Étape 2.3.30

Laissez $u_{2} = x - 5$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.30.1

Laissez $u_{2} = x - 5$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.30.1.1

Différenciez $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 2.3.30.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.3.30.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 2.3.30.1.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.30.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.30.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - \frac{1250}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.31

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - \frac{1250}{3} (\ln (| u_{2} |) + C_{7})$

Étape 2.3.32

Simplifiez

$y + C_{1} = - \frac{x^{5}}{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10 \ln (| u_{1} |)}{3} - \frac{1250}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{8}$

Étape 2.3.33

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 2.3.33.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{x^{5}}{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10 \ln (| x + 1 |)}{3} - \frac{1250}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{8}$

Étape 2.3.33.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 5$ .

$y + C_{1} = - \frac{x^{5}}{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10 \ln (| x + 1 |)}{3} - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) + C_{8}$

Étape 2.3.34

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = - \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10}{3} \ln (| x + 1 |) - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) + C_{8}$

Étape 2.3.35

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = - x^{4} - 10 x^{2} - \frac{1}{5} x^{5} - \frac{10}{3} \ln (| x + 1 |) - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) - 80 x + C_{8}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y = - x^{4} - 10 x^{2} - \frac{1}{5} x^{5} - \frac{10}{3} \ln (| x + 1 |) - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) - 80 x + C$