Calcul infinitésimal Exemples

$2 x (1 + y^{2}) - y \frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot 1 + 2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 0$

Étape 1.1.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 x + 2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 0$

Étape 1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} \cdot 1 - y \frac{d y}{d x} x^{2} = 0$

Étape 1.1.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 x + 2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} - y \frac{d y}{d x} x^{2} = 0$

Étape 1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d y}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.2.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} - y \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x$

Étape 1.1.2.2

Soustrayez $2 x y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- y \frac{d y}{d x} - y \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x - 2 x y^{2}$

Étape 1.1.3

Factorisez $y \frac{d y}{d x}$ à partir de $- y \frac{d y}{d x} - y \frac{d y}{d x} x^{2}$ .

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Étape 1.1.3.1

Factorisez $y \frac{d y}{d x}$ à partir de $- y \frac{d y}{d x}$ .

$y \frac{d y}{d x} \cdot - 1 - y \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x - 2 x y^{2}$

Étape 1.1.3.2

Factorisez $y \frac{d y}{d x}$ à partir de $- y \frac{d y}{d x} x^{2}$ .

$y \frac{d y}{d x} \cdot - 1 + y \frac{d y}{d x} (- 1 x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$

Étape 1.1.3.3

Factorisez $y \frac{d y}{d x}$ à partir de $y \frac{d y}{d x} \cdot - 1 + y \frac{d y}{d x} (- 1 x^{2})$ .

$y \frac{d y}{d x} (- 1 - 1 x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$

Étape 1.1.4

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$

Étape 1.1.5

Divisez chaque terme dans $y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$ par $y (- 1 - x^{2})$ et simplifiez.

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Étape 1.1.5.1

Divisez chaque terme dans $y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$ par $y (- 1 - x^{2})$ .

$\frac{y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2})}{y (- 1 - x^{2})} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

Étape 1.1.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.5.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.1.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2})}{y (- 1 - x^{2})} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

Étape 1.1.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2})}{- 1 - x^{2}} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

Étape 1.1.5.2.2

Annulez le facteur commun de $- 1 - x^{2}$ .

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Étape 1.1.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2})}{- 1 - x^{2}} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

Étape 1.1.5.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

Étape 1.1.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.5.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

Étape 1.1.5.3.1.2

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 1.1.5.3.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- 2 x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{y (- 2 x y)}{y (- 1 - x^{2})}$

Étape 1.1.5.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.5.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{y (- 2 x y)}{y (- 1 - x^{2})}$

Étape 1.1.5.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y}{- 1 - x^{2}}$

Étape 1.1.5.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} - \frac{2 x y}{- 1 - x^{2}}$

Étape 1.1.5.3.2

Pour écrire $- \frac{2 x y}{- 1 - x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} - \frac{2 x y}{- 1 - x^{2}} \cdot \frac{y}{y}$

Étape 1.1.5.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y (- 1 - x^{2})$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.1.5.3.3.1

Multipliez $\frac{2 x y}{- 1 - x^{2}}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} - \frac{2 x y \cdot y}{(- 1 - x^{2}) y}$

Étape 1.1.5.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(- 1 - x^{2}) y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} - \frac{2 x y \cdot y}{y (- 1 - x^{2})}$

Étape 1.1.5.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x - 2 x y \cdot y}{y (- 1 - x^{2})}$

Étape 1.1.5.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.5.3.5.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x - 2 x y \cdot y$ .

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Étape 1.1.5.3.5.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1) - 2 x y \cdot y}{y (- 1 - x^{2})}$

Étape 1.1.5.3.5.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x y \cdot y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1) + 2 x (- 1 y \cdot y)}{y (- 1 - x^{2})}$

Étape 1.1.5.3.5.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- 1) + 2 x (- 1 y \cdot y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 y \cdot y)}{y (- 1 - x^{2})}$

Étape 1.1.5.3.5.2

Associez les exposants.

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Étape 1.1.5.3.5.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 (y^{1} y))}{y (- 1 - x^{2})}$

Étape 1.1.5.3.5.2.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 (y^{1} y^{1}))}{y (- 1 - x^{2})}$

Étape 1.1.5.3.5.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 y^{1 + 1})}{y (- 1 - x^{2})}$

Étape 1.1.5.3.5.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 y^{2})}{y (- 1 - x^{2})}$

Étape 1.1.5.3.5.3

Réécrivez $- 1 y^{2}$ comme $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - y^{2})}{y (- 1 - x^{2})}$

Étape 1.1.5.3.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.5.3.6.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1) - y^{2})}{y (- 1 - x^{2})}$

Étape 1.1.5.3.6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1) - (y^{2}))}{y (- 1 - x^{2})}$

Étape 1.1.5.3.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 - x^{2})}$

Étape 1.1.5.3.6.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 (1) - x^{2})}$

Étape 1.1.5.3.6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 (1) - (x^{2}))}$

Étape 1.1.5.3.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (x^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 (1 + x^{2}))}$

Étape 1.1.5.3.6.7

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 (1 + x^{2}))}$

Étape 1.1.5.3.6.8

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (1 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{y}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ par $\frac{1 + y^{2}}{y}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{2 x (1 + y^{2})}{(1 + x^{2}) y}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{2 x (1 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{2 x (1 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{2 x (1 + y^{2})}{1 + x^{2}}$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun de $1 + y^{2}$ .

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Étape 1.4.3.1

Factorisez $1 + y^{2}$ à partir de $2 x (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + y^{2}) (2 x)}{1 + x^{2}}$

Étape 1.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + y^{2}) (2 x)}{1 + x^{2}}$

Étape 1.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.2.1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $0$ et $2 y$ .

$2 y$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Alors $d u_{2} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 2.3.2.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.3

Multipliez $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \ln (| 1 + x^{2} |) + 2 C$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| 1 + x^{2} |) = 2 C$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Simplifiez $\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| 1 + x^{2} |)$ .

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Étape 3.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (| 1 + x^{2} |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln ({| 1 + x^{2} |}^{2}) = 2 C$

Étape 3.4.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| 1 + x^{2} |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln ({(1 + x^{2})}^{2}) = 2 C$

Étape 3.4.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}}) = 2 C$

Étape 3.5

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}})} = e^{2 C}$

Étape 3.6

Réécrivez $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}}) = 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.7

Résolvez $y$ .

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Étape 3.7.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}} = e^{2 C}$

Étape 3.7.2

Multipliez les deux côtés par ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C} {(1 + x^{2})}^{2}$

Étape 3.7.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.3.1

Annulez le facteur commun de ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C} {(1 + x^{2})}^{2}$

Étape 3.7.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} {(1 + x^{2})}^{2}$

Étape 3.7.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.7.4.1

Simplifiez $e^{2 C} {(1 + x^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.7.4.1.1

Réécrivez ${(1 + x^{2})}^{2}$ comme $(1 + x^{2}) (1 + x^{2})$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} ((1 + x^{2}) (1 + x^{2}))$

Étape 3.7.4.1.2

Développez $(1 + x^{2}) (1 + x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.7.4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 (1 + x^{2}) + x^{2} (1 + x^{2}))$

Étape 3.7.4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 \cdot 1 + 1 x^{2} + x^{2} (1 + x^{2}))$

Étape 3.7.4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 \cdot 1 + 1 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2})$

Étape 3.7.4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.7.4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.4.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + 1 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2})$

Étape 3.7.4.1.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2})$

Étape 3.7.4.1.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + x^{2} + x^{2} + x^{2} x^{2})$

Étape 3.7.4.1.3.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.4.1.3.1.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + x^{2} + x^{2} + x^{2 + 2})$

Étape 3.7.4.1.3.1.4.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + x^{2} + x^{2} + x^{4})$

Étape 3.7.4.1.3.2

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + 2 x^{2} + x^{4})$

Étape 3.7.4.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} \cdot 1 + e^{2 C} (2 x^{2}) + e^{2 C} x^{4}$

Étape 3.7.4.1.5

Simplifiez

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Étape 3.7.4.1.5.1

Multipliez $e^{2 C}$ par $1$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} + e^{2 C} (2 x^{2}) + e^{2 C} x^{4}$

Étape 3.7.4.1.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} + 2 e^{2 C} x^{2} + e^{2 C} x^{4}$

Étape 3.7.4.1.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{2 C} + 2 e^{2 C} x^{2} + e^{2 C} x^{4}$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + x^{4} e^{2 C}$

Étape 3.7.4.1.7

Déplacez $e^{2 C}$ .

$| 1 + y^{2} | = 2 x^{2} e^{2 C} + x^{4} e^{2 C} + e^{2 C}$

Étape 3.7.4.1.8

Remettez dans l’ordre $2 x^{2} e^{2 C}$ et $x^{4} e^{2 C}$ .

$| 1 + y^{2} | = x^{4} e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + e^{2 C}$

Étape 3.7.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm (x^{4} e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + e^{2 C})$

Étape 3.7.4.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} = \pm (x^{4} e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + e^{2 C}) - 1$

Étape 3.7.4.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{4} e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + e^{2 C}) - 1}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{4} C + 2 x^{2} C + C) - 1}$