Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d A}{d r} = A b^{2} \cos (b r)$ , $A (0) = b^{3}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d A}{d r} + M (r) A = Q (r)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation comme $M (r) \frac{d A}{d r} + P (r) A = Q (r)$ .

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Étape 1.1.1

Soustrayez $A b^{2} \cos (b r)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d A}{d r} - A b^{2} \cos (b r) = 0$

Étape 1.1.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d A}{d r} - b^{2} A \cos (b r) = 0$

Étape 1.2

Factorisez $A$ à partir de $- b^{2} A \cos (b r)$ .

$\frac{d A}{d r} + A (- b^{2} \cos (b r)) = 0$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre $A$ et $- b^{2} \cos (b r)$ .

$\frac{d A}{d r} - b^{2} \cos (b r) A = 0$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (r) d r}$ , où $P (r) = - b^{2} \cos (b r)$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - b^{2} \cos (b r) d r}$

Étape 2.2

Intégrez $- b^{2} \cos (b r)$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- b^{2}$ est constant par rapport à $r$ , placez $- b^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- b^{2} \int \cos (b r) d r}$

Étape 2.2.2

Laissez $u = b r$ . Alors $d u = b d r$ , donc $\frac{1}{b} d u = d r$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.2.1

Laissez $u = b r$ . Déterminez $\frac{d u}{d r}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Réécrivez.

$1 b$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $b$ par $1$ .

$b$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{- b^{2} \int \cos (u) \frac{1}{b} d u}$

Étape 2.2.3

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{b}$ .

$e^{- b^{2} \int \frac{\cos (u)}{b} d u}$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{b}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{b}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- b^{2} (\frac{1}{b} \int \cos (u) d u)}$

Étape 2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1

Associez $\frac{1}{b}$ et $b^{2}$ .

$e^{- \frac{b^{2}}{b} \int \cos (u) d u}$

Étape 2.2.5.2

Annulez le facteur commun à $b^{2}$ et $b$ .

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Étape 2.2.5.2.1

Factorisez $b$ à partir de $b^{2}$ .

$e^{- \frac{b \cdot b}{b} \int \cos (u) d u}$

Étape 2.2.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.5.2.2.1

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$e^{- \frac{b \cdot b}{b^{1}} \int \cos (u) d u}$

Étape 2.2.5.2.2.2

Factorisez $b$ à partir de $b^{1}$ .

$e^{- \frac{b \cdot b}{b \cdot 1} \int \cos (u) d u}$

Étape 2.2.5.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$e^{- \frac{b \cdot b}{b \cdot 1} \int \cos (u) d u}$

Étape 2.2.5.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$e^{- \frac{b}{1} \int \cos (u) d u}$

Étape 2.2.5.2.2.5

Divisez $b$ par $1$ .

$e^{- b \int \cos (u) d u}$

Étape 2.2.6

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$e^{- b (\sin (u) + C)}$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$e^{- b \sin (u) + C}$

Étape 2.2.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $b r$ .

$e^{- b \sin (b r) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- b \sin (b r)}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- b \sin (b r)}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{- b \sin (b r)}$ .

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} + e^{- b \sin (b r)} (- b^{2} \cos (b r) A) = e^{- b \sin (b r)} \cdot 0$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = e^{- b \sin (b r)} \cdot 0$

Étape 3.3

Multipliez $e^{- b \sin (b r)}$ par $0$ .

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = 0$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = 0$ .

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - b^{2} A e^{- b \sin (b r)} \cos (b r) = 0$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d r} [e^{- b \sin (b r)} A] = 0$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d r} [e^{- b \sin (b r)} A] d r = \int 0 d r$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- b \sin (b r)} A = \int 0 d r$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

L’intégrale de $0$ par rapport à $r$ est $0$ .

$e^{- b \sin (b r)} A = 0 + C$

Étape 7.2

Additionnez $0$ et $C$ .

$e^{- b \sin (b r)} A = C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{- b \sin (b r)} A = C$ par $e^{- b \sin (b r)}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{- b \sin (b r)} A = C$ par $e^{- b \sin (b r)}$ .

$\frac{e^{- b \sin (b r)} A}{e^{- b \sin (b r)}} = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- b \sin (b r)}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- b \sin (b r)} A}{e^{- b \sin (b r)}} = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

Étape 9

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $r$ par $0$ et $A$ par $b^{3}$ dans $A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$ .

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}}$

Étape 10

Résolvez $b$ .

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Étape 10.1

Multipliez les deux côtés par $e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ .

$b^{3} e^{- b \sin (b \cdot 0)} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.1.1

Simplifiez $b^{3} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ .

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Étape 10.2.1.1.1

Multipliez $b$ par $0$ .

$b^{3} e^{- b \sin (0)} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Étape 10.2.1.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$b^{3} e^{- b \cdot 0} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Étape 10.2.1.1.3

Multipliez $- b \cdot 0$ .

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Étape 10.2.1.1.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$b^{3} e^{0 b} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Étape 10.2.1.1.3.2

Multipliez $0$ par $b$ .

$b^{3} e^{0} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Étape 10.2.1.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$b^{3} \cdot 1 = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Étape 10.2.1.1.5

Multipliez $b^{3}$ par $1$ .

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ .

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Étape 10.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Étape 10.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$b^{3} = C$

Étape 10.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$b = \sqrt[3]{C}$

Étape 11

Remplacez $C$ par $\sqrt[3]{C}$ dans $A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$ et simplifiez.

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Étape 11.1

Remplacez $b$ par $\sqrt[3]{C}$ .

$A = \frac{C}{e^{- \sqrt[3]{C} \sin (\sqrt[3]{C} r)}}$