Calcul infinitésimal Exemples

$e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$ par $e^{- y}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1.1

Divisez chaque terme dans $e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$ par $e^{- y}$ .

$\frac{e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x})}{e^{- y}} = \frac{1}{e^{- y}}$

Étape 1.1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- y}$ .

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Étape 1.1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x})}{e^{- y}} = \frac{1}{e^{- y}}$

Étape 1.1.1.2.1.2

Divisez $1 + \frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$1 + \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}}$

Étape 1.1.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} - 1$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} (\frac{1}{e^{- y}} - 1)$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $\frac{1}{e^{- y}} - 1$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} (\frac{1}{e^{- y}} - 1)$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = 1$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} d y = 1 d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} d y = \int d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.1.1.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{- y}}{e^{- y}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1 \cdot \frac{e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.1.2

Associez $- 1$ et $\frac{e^{- y}}{e^{- y}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{1}{\frac{1 - e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\int 1 \frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}} d y = \int d x$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $\frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}}$ par $1$ .

$\int \frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}} d y = \int d x$

Étape 2.2.2

Laissez $u_{2} = 1 - e^{- y}$ . Alors $d u_{2} = e^{- y} d y$ , donc $\frac{1}{e^{- y}} d u_{2} = d y$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.2.2.1

Laissez $u_{2} = 1 - e^{- y}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Différenciez $1 - e^{- y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 - e^{- y}]$

Étape 2.2.2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.2.2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - e^{- y}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$

Étape 2.2.2.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$

Étape 2.2.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

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Étape 2.2.2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- e^{- y}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

Étape 2.2.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = - y$ .

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Étape 2.2.2.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- y$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- y])$

Étape 2.2.2.1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 - (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- y])$

Étape 2.2.2.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- y$ .

$0 - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])$

Étape 2.2.2.1.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

Étape 2.2.2.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))$

Étape 2.2.2.1.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - (e^{- y} \cdot - 1)$

Étape 2.2.2.1.3.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- y}$ .

$0 - (- 1 \cdot e^{- y})$

Étape 2.2.2.1.3.7

Réécrivez $- 1 e^{- y}$ comme $- e^{- y}$ .

$0 - - e^{- y}$

Étape 2.2.2.1.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 + 1 e^{- y}$

Étape 2.2.2.1.3.9

Multipliez $e^{- y}$ par $1$ .

$0 + e^{- y}$

Étape 2.2.2.1.4

Additionnez $0$ et $e^{- y}$ .

$e^{- y}$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Étape 2.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 - e^{- y}$ .

$\ln (| 1 - e^{- y} |) + C_{1} = \int d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| 1 - e^{- y} |) + C_{1} = x + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| 1 - e^{- y} |) = x + C$