Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x + x y^{2}}{y + x^{2} y}$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x + x y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 3 + x y^{2}}{y + x^{2} y}$

Étape 1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 3 + x (y^{2})}{y + x^{2} y}$

Étape 1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 3 + x (y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (3 + y^{2})}{y + x^{2} y}$

Étape 1.1.4

Multipliez $x$ par $3 + y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 + y^{2})}{y + x^{2} y}$

Étape 1.2

Factorisez $y$ à partir de $y + x^{2} y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 + y^{2})}{y^{1} + x^{2} y}$

Étape 1.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 + y^{2})}{y \cdot 1 + x^{2} y}$

Étape 1.2.3

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 + y^{2})}{y \cdot 1 + y x^{2}}$

Étape 1.2.4

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1 + y x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 + y^{2})}{y \cdot (1 + x^{2})}$

Étape 1.2.5

Multipliez $y$ par $1 + x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

Étape 1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{3 + y^{2}}{y}$

Étape 1.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{y}{3 + y^{2}}$ .

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 + y^{2}} (\frac{x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{3 + y^{2}}{y})$

Étape 1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{x}{1 + x^{2}}$ par $\frac{3 + y^{2}}{y}$ .

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 + y^{2}} \cdot \frac{x (3 + y^{2})}{(1 + x^{2}) y}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1

Factorisez $y$ à partir de $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 + y^{2}} \cdot \frac{x (3 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 + y^{2}} \cdot \frac{x (3 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

Étape 1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y^{2}} \cdot \frac{x (3 + y^{2})}{1 + x^{2}}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun de $3 + y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1

Factorisez $3 + y^{2}$ à partir de $x (3 + y^{2})$ .

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y^{2}} \cdot \frac{(3 + y^{2}) x}{1 + x^{2}}$

Étape 1.5.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y^{2}} \cdot \frac{(3 + y^{2}) x}{1 + x^{2}}$

Étape 1.5.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}}$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{y}{3 + y^{2}} d y = \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y}{3 + y^{2}} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = 3 + y^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = 3 + y^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $3 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [3 + y^{2}]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.2.1.1.3

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $0$ et $2 y$ .

$2 y$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Laissez $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Alors $d u_{2} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 2.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 3 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 3 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| 3 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 3 + y^{2} |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 1 + x^{2} |)$ .

$\ln (| 3 + y^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C)$

Étape 3.2.2.1.2

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 3 + y^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.3.1

Associez $C$ et $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 3 + y^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Étape 3.2.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| 3 + y^{2} |) = 2 \frac{\ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| 3 + y^{2} |) = 2 \frac{\ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.2.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 3 + y^{2} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2$

Étape 3.2.2.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $C$ .

$\ln (| 3 + y^{2} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + 2 C$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 3 + y^{2} |) - \ln (| 1 + x^{2} |) = 2 C$

Étape 3.4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |}) = 2 C$

Étape 3.5

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |})} = e^{2 C}$

Étape 3.6

Réécrivez $\ln (\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |}) = 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |}$

Étape 3.7

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} = e^{2 C}$

Étape 3.7.2

Multipliez les deux côtés par $| 1 + x^{2} |$ .

$\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{2 C} | 1 + x^{2} |$

Étape 3.7.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.1

Annulez le facteur commun de $| 1 + x^{2} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{2 C} | 1 + x^{2} |$

Étape 3.7.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| 3 + y^{2} | = e^{2 C} | 1 + x^{2} |$

Étape 3.7.4

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{2 C} | 1 + x^{2} |$ .

$| 3 + y^{2} | = | 1 + x^{2} | e^{2 C}$

Étape 3.7.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$3 + y^{2} = \pm | 1 + x^{2} | e^{2 C}$

Étape 3.7.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm | 1 + x^{2} | e^{2 C}$ .

$3 + y^{2} = \pm e^{2 C} | 1 + x^{2} |$

Étape 3.7.4.4

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} = \pm e^{2 C} | 1 + x^{2} | - 3$

Étape 3.7.4.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{2 C} | 1 + x^{2} | - 3}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \sqrt{\pm C | 1 + x^{2} | - 3}$

Étape 4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \pm \sqrt{C | 1 + x^{2} | - 3}$