Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + x) (y d) x + (1 - y) x d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $(1 + x) y d x$ des deux côtés de l’équation.

$(1 - y) x d y = - (1 + x) y d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} ((1 - y) x) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} ((1 - y) x) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Étape 3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $(1 - y) x$ .

$\frac{1}{x (y)} (x (1 - y)) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Étape 3.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x y} (x (1 - y)) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Étape 3.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} (1 - y) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $1 - y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{x y} ((1 + x) y) d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x y}$ dans le numérateur.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{x y} ((1 + x) y) d x$

Étape 3.4.2

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} ((1 + x) y) d x$

Étape 3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $(1 + x) y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (1 + x)) d x$

Étape 3.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (1 + x)) d x$

Étape 3.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{x} (1 + x) d x$

Étape 3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{x} (1 + x) d x$

Étape 3.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} \cdot 1 - \frac{1}{x} x) d x$

Étape 3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} - \frac{1}{x} x) d x$

Étape 3.8

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} x) d x$

Étape 3.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} x) d x$

Étape 3.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} - 1) d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Étape 4.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Étape 4.2.3.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Étape 4.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Étape 4.2.5

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Étape 4.2.6

Simplifiez

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Étape 4.2.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

Étape 4.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

Étape 4.3.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4}) + \int - 1 d x$

Étape 4.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4}) - x + C_{5}$

Étape 4.3.5

Simplifiez

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \ln (| x |) - x + C_{6}$

Étape 4.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x - \ln (| x |) + C_{6}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- y + \ln (| y |) = - x - \ln (| x |) + C$