Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - x y = 0$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - x$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - x d x}$

Étape 1.2

Intégrez $- x$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int x d x}$

Étape 1.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Étape 1.2.3

Réécrivez $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \frac{1}{2} x^{2}}$

Étape 1.4

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 0$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 0$

Étape 2.3

Multipliez $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ par $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = 0$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = 0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - x y e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] = 0$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int 0 d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = \int 0 d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

L’intégrale de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = 0 + C$

Étape 6.2

Additionnez $0$ et $C$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ par $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ par $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$