Calcul infinitésimal Exemples

$x (y d) x + (x + 1) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $x y d x$ des deux côtés de l’équation.

$(x + 1) d y = - x y d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(x + 1) y}$ .

$\frac{1}{(x + 1) y} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $(x + 1) y$ .

$\frac{1}{(x + 1) (y)} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(x + 1) y} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(x + 1) y} (x y) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{(x + 1) y}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(x + 1) y} (x y) d x$

Étape 3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $(x + 1) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 1)} (x y) d x$

Étape 3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 1)} (y x) d x$

Étape 3.3.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 1)} (y x) d x$

Étape 3.3.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x + 1} x d x$

Étape 3.4

Associez $\frac{- 1}{x + 1}$ et $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{x + 1} d x$

Étape 3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 4.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 4.3.2

Divisez $x$ par $x + 1$ .

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Étape 4.3.2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Étape 4.3.2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Étape 4.3.2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Étape 4.3.2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Étape 4.3.2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Étape 4.3.2.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 4.3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 4.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 4.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 4.3.6

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.3.6.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.3.6.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 4.3.6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.6.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.3.6.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.3.6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 4.3.7

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3}))$

Étape 4.3.8

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x - \ln (| u |)) + C_{4}$

Étape 4.3.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{4}$

Étape 4.3.10

Simplifiez

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Étape 4.3.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Étape 4.3.10.2

Multipliez $- - \ln (| x + 1 |)$ .

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Étape 4.3.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Étape 4.3.10.2.2

Multipliez $\ln (| x + 1 |)$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) - \ln (| x + 1 |) = - x + C$

Étape 5.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x + 1 |}) = - x + C$

Étape 5.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x + 1 |})} = e^{- x + C}$

Étape 5.4

Réécrivez $\ln (\frac{| y |}{| x + 1 |}) = - x + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- x + C} = \frac{| y |}{| x + 1 |}$

Étape 5.5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y |}{| x + 1 |} = e^{- x + C}$ .

$\frac{| y |}{| x + 1 |} = e^{- x + C}$

Étape 5.5.2

Multipliez les deux côtés par $| x + 1 |$ .

$\frac{| y |}{| x + 1 |} | x + 1 | = e^{- x + C} | x + 1 |$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.3.1

Annulez le facteur commun de $| x + 1 |$ .

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Étape 5.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y |}{| x + 1 |} | x + 1 | = e^{- x + C} | x + 1 |$

Étape 5.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y | = e^{- x + C} | x + 1 |$

Étape 5.5.4

Résolvez $y$ .

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Étape 5.5.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- x + C} | x + 1 |$ .

$| y | = | x + 1 | e^{- x + C}$

Étape 5.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x + 1 | e^{- x + C}$

Étape 6

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.1

Réécrivez $e^{- x + C}$ comme $e^{- x} e^{C}$ .

$y = \pm | x + 1 | (e^{- x} e^{C})$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre $e^{- x}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm | x + 1 | (e^{C} e^{- x})$

Étape 6.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C | x + 1 | e^{- x}$