Calcul infinitésimal Exemples

$y d x = x (1 + x y^{4}) d y$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Soustrayez $x (1 + x y^{4}) d y$ des deux côtés de l’équation.

$y d x - x (1 + x y^{4}) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - x (1 + x y^{4})$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x (1 + x y^{4})]$

Étape 3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x (1 + x y^{4})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x (1 + x y^{4})]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x (1 + x y^{4})]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 1 + x y^{4}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x \frac{d}{d x} [1 + x y^{4}] + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x y^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{4}]) + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (0 + \frac{d}{d x} [x y^{4}]) + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x \frac{d}{d x} [x y^{4}] + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.4

Comme $y^{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y^{4}$ par rapport à $x$ est $y^{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (y^{4} \frac{d}{d x} [x]) + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (y^{4} \cdot 1) + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.6

Multipliez $y^{4}$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x y^{4} + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x y^{4} + (1 + x y^{4}) \cdot 1)$

Étape 3.4.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.4.8.1

Multipliez $1 + x y^{4}$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x y^{4} + 1 + x y^{4})$

Étape 3.4.8.2

Additionnez $x y^{4}$ et $x y^{4}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x y^{4} + 1)$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x y^{4}) - 1 \cdot 1$

Étape 3.5.2

Associez des termes.

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Étape 3.5.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (x y^{4}) - 1 \cdot 1$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y^{4} - 1$

Étape 3.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y^{4} x - 1$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2 y^{4} x - 1$ .

$1 = - 2 y^{4} x - 1$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$1 = - 2 y^{4} x - 1$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ .

$\frac{1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2 y^{4} x - 1$ .

$\frac{1 - (- 2 y^{4} x - 1)}{N}$

Étape 5.3

Remplacez $N$ par $- x (1 + x y^{4})$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $N$ par $- x (1 + x y^{4})$ .

$\frac{1 - (- 2 y^{4} x - 1)}{- x (1 + x y^{4})}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - (- 2 y^{4} x) - - 1}{- x (1 + x y^{4})}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{1 + 2 (y^{4} x) - - 1}{- x (1 + x y^{4})}$

Étape 5.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 + 2 (y^{4} x) + 1}{- x (1 + x y^{4})}$

Étape 5.3.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 y^{4} x + 2}{- x (1 + x y^{4})}$

Étape 5.3.2.5

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{4} x + 2$ .

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Étape 5.3.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{4} x$ .

$\frac{2 (y^{4} x) + 2}{- x (1 + x y^{4})}$

Étape 5.3.2.5.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (y^{4} x) + 2 (1)}{- x (1 + x y^{4})}$

Étape 5.3.2.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (y^{4} x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (y^{4} x + 1)}{- x (1 + x y^{4})}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun à $y^{4} x + 1$ et $1 + x y^{4}$ .

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Étape 5.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 (y^{4} x + 1)}{- x (y^{4} x + 1)}$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (y^{4} x + 1)}{- x (y^{4} x + 1)}$

Étape 5.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{- x}$

Étape 5.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Étape 6.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 6.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 6.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Étape 6.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1

Simplifiez $- 2 \ln (| x |)$ en déplaçant $- 2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Étape 6.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Étape 6.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{- 2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Étape 6.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $y d x - x (1 + x y^{4}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $y$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$y \frac{1}{x^{2}} d x - x (1 + x y^{4}) d y = 0$

Étape 7.2

Associez $y$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x - x (1 + x y^{4}) d y = 0$

Étape 7.3

Multipliez $- x (1 + x y^{4})$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x - x (1 + x y^{4}) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.4.1

Factorisez $x$ à partir de $- x (1 + x y^{4})$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + x (- 1 (1 + x y^{4})) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Étape 7.4.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + x (- 1 (1 + x y^{4})) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Étape 7.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x^{2}} d x + x (- 1 (1 + x y^{4})) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Étape 7.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{x^{2}} d x - 1 (1 + x y^{4}) \frac{1}{x} d y = 0$

Étape 7.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y}{x^{2}} d x + (- 1 \cdot 1 - 1 (x y^{4})) \frac{1}{x} d y = 0$

Étape 7.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + (- 1 - 1 (x y^{4})) \frac{1}{x} d y = 0$

Étape 7.7

Réécrivez $- 1 (x y^{4})$ comme $- (x y^{4})$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + (- 1 - (x y^{4})) \frac{1}{x} d y = 0$

Étape 7.8

Multipliez $- 1 - x y^{4}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{- 1 - x y^{4}}{x} d y = 0$

Étape 7.9

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{- 1 (1) - x y^{4}}{x} d y = 0$

Étape 7.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- x y^{4}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{- 1 (1) - (x y^{4})}{x} d y = 0$

Étape 7.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (x y^{4})$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{- 1 (1 + x y^{4})}{x} d y = 0$

Étape 7.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{y}{x^{2}} d x - \frac{1 + x y^{4}}{x} d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x^{2}} d x$

Étape 9

Intégrez $M (x, y) = \frac{y}{x^{2}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , placez $y$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 9.2

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$f (x, y) = y \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 9.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 9.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = y \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 9.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (x, y) = y \int x^{- 2} d x$

Étape 9.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$f (x, y) = y (- x^{- 1} + C)$

Étape 9.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.5.1

Réécrivez $y (- x^{- 1} + C)$ comme $y (- \frac{1}{x}) + C$ .

$f (x, y) = y (- \frac{1}{x}) + C$

Étape 9.5.2

Associez $y$ et $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (y)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x} + g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{y}{x} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x}]$ .

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Étape 12.3.1

Comme $- \frac{1}{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- \frac{y}{x}$ par rapport à $y$ est $- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Étape 12.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Étape 12.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{d g}{d y} = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Étape 12.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{x} = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 13.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 13.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 13.1.1.1

Ajoutez $\frac{1 + x y^{4}}{x}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{x} + \frac{1 + x y^{4}}{x} = 0$

Étape 13.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1 + 1 + x y^{4}}{x} = 0$

Étape 13.1.1.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + x y^{4}}{x} = 0$

Étape 13.1.1.4

Additionnez $0$ et $x y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x y^{4}}{x} = 0$

Étape 13.1.1.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 13.1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x y^{4}}{x} = 0$

Étape 13.1.1.5.2

Divisez $y^{4}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} + y^{4} = 0$

Étape 13.1.2

Soustrayez $y^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = - y^{4}$

Étape 14

Déterminez la primitive de $- y^{4}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - y^{4}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{4} d y$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{4} d y$

Étape 14.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - \int y^{4} d y$

Étape 14.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{4}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{5} y^{5} + C)$

Étape 14.5

Réécrivez $- (\frac{1}{5} y^{5} + C)$ comme $- \frac{1}{5} y^{5} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{5} y^{5} + C$

Étape 15

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} - \frac{1}{5} y^{5} + C$

Étape 16

Associez $y^{5}$ et $\frac{1}{5}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} - \frac{y^{5}}{5} + C$