Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{y}}{e^{x}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} \cdot \frac{e^{y}}{e^{x}}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Associez.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 e^{y}}{e^{y} e^{x}}$

Étape 1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 e^{y}}{e^{y + x}}$

Étape 1.2.3

Multipliez $e^{y}$ par $1$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y}}{e^{y + x}}$

Étape 1.2.4

Annulez le facteur commun à $e^{y}$ et $e^{y + x}$ .

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Étape 1.2.4.1

Factorisez $e^{y + x}$ à partir de $e^{y}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y + x} e^{y - (y + x)}}{e^{y + x}}$

Étape 1.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y + x} e^{y - (y + x)}}{e^{y + x} \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y + x} e^{y - (y + x)}}{e^{y + x} \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y - (y + x)}}{1}$

Étape 1.2.4.2.4

Divisez $e^{y - (y + x)}$ par $1$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = e^{y - (y + x)}$

Étape 1.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = e^{y - y - x}$

Étape 1.2.6

Soustrayez $y$ de $y$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = e^{0 - x}$

Étape 1.2.7

Soustrayez $x$ de $0$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = e^{- x}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{e^{y}} d y = e^{- x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int e^{- x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1

Inversez l’exposant de $e^{y}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int e^{- x} d x$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{y})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int e^{- x} d x$

Étape 2.2.1.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int e^{- x} d x$

Étape 2.2.1.2.1.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\int 1 e^{- y} d y = \int e^{- x} d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $e^{- y}$ par $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int e^{- x} d x$

Étape 2.2.2

Laissez $u_{1} = - y$ . Alors $d u_{1} = - d y$ , donc $- d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Laissez $u_{1} = - y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Différenciez $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.2.2.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int - e^{u_{1}} d u_{1} = \int e^{- x} d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int e^{- x} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$- (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int e^{- x} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$- e^{u_{1}} + C_{1} = \int e^{- x} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int e^{- x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u_{2} = - x$ . Alors $d u_{2} = - d x$ , donc $- d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{2} = - x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3.1.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- e^{- y} + C_{1} = - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = - (e^{u_{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$- e^{- y} + C_{1} = - e^{u_{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$- e^{- y} + C_{1} = - e^{- x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- e^{- y} = - e^{- x} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- e^{- y} = - e^{- x} + K$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- e^{- y} = - e^{- x} + K$ par $- 1$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{- e^{- x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{- e^{- x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $e^{- y}$ par $1$ .

$e^{- y} = \frac{- e^{- x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$e^{- y} = \frac{e^{- x}}{1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.2

Divisez $e^{- x}$ par $1$ .

$e^{- y} = e^{- x} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{K}{- 1}$ .

$e^{- y} = e^{- x} - 1 \cdot K$

Étape 3.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot K$ comme $- K$ .

$e^{- y} = e^{- x} - K$

Étape 3.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- y}) = \ln (e^{- x} - K)$

Étape 3.3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Développez $\ln (e^{- y})$ en déplaçant $- y$ hors du logarithme.

$- y \ln (e) = \ln (e^{- x} - K)$

Étape 3.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (e^{- x} - K)$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- y = \ln (e^{- x} - K)$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $- y = \ln (e^{- x} - K)$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $- y = \ln (e^{- x} - K)$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (e^{- x} - K)}{- 1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (e^{- x} - K)}{- 1}$

Étape 3.4.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (e^{- x} - K)}{- 1}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\ln (e^{- x} - K)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (e^{- x} - K)$

Étape 3.4.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \ln (e^{- x} - K)$ comme $- \ln (e^{- x} - K)$ .

$y = - \ln (e^{- x} - K)$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - \ln (e^{- x} + K)$