Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 1}{2 (y + 3)}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y + 3$ .

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) (- \frac{x + 1}{2 (y + 3)})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $y + 3$ .

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Étape 1.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x + 1}{2 (y + 3)}$ dans le numérateur.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{- (x + 1)}{2 (y + 3)}$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $y + 3$ à partir de $2 (y + 3)$ .

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{- (x + 1)}{(y + 3) \cdot 2}$

Étape 1.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{- (x + 1)}{(y + 3) \cdot 2}$

Étape 1.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = \frac{- (x + 1)}{2}$

Étape 1.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = - \frac{x + 1}{2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(y + 3) d y = - \frac{x + 1}{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y + 3 d y = \int - \frac{x + 1}{2} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y d y + \int 3 d y = \int - \frac{x + 1}{2} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 3 d y = \int - \frac{x + 1}{2} d x$

Étape 2.2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 3 y + C_{2} = \int - \frac{x + 1}{2} d x$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = \int - \frac{x + 1}{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - \int \frac{x + 1}{2} d x$

Étape 2.3.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - (\frac{1}{2} \int x + 1 d x)$

Étape 2.3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - \frac{1}{2} (\int x d x + \int d x)$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int d x)$

Étape 2.3.5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + x + C_{5})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + x) + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + x) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + x) + K$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + x) + K$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} x + K$

Étape 3.2.3

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}$ .

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Étape 3.2.3.1

Multipliez $\frac{x^{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} x + K$

Étape 3.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{2} x + K$

Étape 3.2.4

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + K$

Étape 3.3

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Ajoutez $\frac{x^{2}}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{x^{2}}{4} = - \frac{x}{2} + K$

Étape 3.3.2

Ajoutez $\frac{x}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} = K$

Étape 3.3.3

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} - K = 0$

Étape 3.4

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $4$ , puis simplifiez.

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (\frac{y^{2}}{2}) + 4 (3 y) + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Étape 3.4.2

Simplifiez

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (2) (\frac{y^{2}}{2}) + 4 (3 y) + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot (2 (\frac{y^{2}}{2})) + 4 (3 y) + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 y^{2} + 4 (3 y) + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$2 y^{2} + 12 y + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 y^{2} + 12 y + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 y^{2} + 12 y + x^{2} + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 y^{2} + 12 y + x^{2} + 2 (2) (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 y^{2} + 12 y + x^{2} + 2 \cdot (2 (\frac{x}{2})) + 4 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$2 y^{2} + 12 y + x^{2} + 2 x + 4 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$2 y^{2} + 12 y + x^{2} + 2 x - 4 K = 0$

Étape 3.4.3

Déplacez $12 y$ .

$2 y^{2} + x^{2} + 2 x - 4 K + 12 y = 0$

Étape 3.4.4

Déplacez $2 x$ .

$2 y^{2} + x^{2} - 4 K + 2 x + 12 y = 0$

Étape 3.4.5

Remettez dans l’ordre $2 y^{2}$ et $x^{2}$ .

$x^{2} + 2 y^{2} - 4 K + 2 x + 12 y = 0$

Étape 3.5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.6

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 12$ et $c = x^{2} - 4 K + 2 x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (x^{2} - 4 K + 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 4 K + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (x^{2} - 4 K + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 x^{2} - 8 (- 4 K) - 8 (2 x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.4

Simplifiez

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Étape 3.7.1.4.1

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 x^{2} + 32 K - 8 (2 x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.4.2

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 x^{2} + 32 K - 16 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.5

Factorisez $8$ à partir de $144 - 8 x^{2} + 32 K - 16 x$ .

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Étape 3.7.1.5.1

Factorisez $8$ à partir de $144$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18) - 8 x^{2} + 32 K - 16 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.5.2

Factorisez $8$ à partir de $- 8 x^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18) + 8 (- x^{2}) + 32 K - 16 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.5.3

Factorisez $8$ à partir de $32 K$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18) + 8 (- x^{2}) + 8 (4 K) - 16 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.5.4

Factorisez $8$ à partir de $- 16 x$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18) + 8 (- x^{2}) + 8 (4 K) + 8 (- 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.5.5

Factorisez $8$ à partir de $8 (18) + 8 (- x^{2})$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18 - x^{2}) + 8 (4 K) + 8 (- 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.5.6

Factorisez $8$ à partir de $8 (18 - x^{2}) + 8 (4 K)$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18 - x^{2} + 4 K) + 8 (- 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.5.7

Factorisez $8$ à partir de $8 (18 - x^{2} + 4 K) + 8 (- 2 x)$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.6

Réécrivez $8 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)$ comme $2^{2} \cdot (2 (18 - x^{2} + 2^{2} K - 2 x))$ .

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Étape 3.7.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (2) (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.6.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (18 - x^{2} + 2^{2} K - 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.6.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (18 - x^{2} + 2^{2} K - 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (18 - x^{2} + 2^{2} K - 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.1.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{4}$

Étape 3.7.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{4}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2}$

Étape 3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K - 2 x + 18)} + 6}{2}$

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K - 2 x + 18)} + 6}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (18 - x^{2} + K - 2 x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + K - 2 x + 18)} + 6}{2}$