Calcul infinitésimal Exemples

$25 \frac{d T}{d t} + T = 80 e^{- 0.04 t}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d T}{d t} + M (t) T = Q (t)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $25 \frac{d T}{d t} + T = 80 e^{- 0.04 t}$ par $25$ .

$\frac{25 \frac{d T}{d t}}{25} + \frac{T}{25} = \frac{80 e^{- 0.04 t}}{25}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 \frac{d T}{d t}}{25} + \frac{T}{25} = \frac{80 e^{- 0.04 t}}{25}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d T}{d t}$ par $1$ .

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{80 e^{- 0.04 t}}{25}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $80$ et $25$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $5$ à partir de $80 e^{- 0.04 t}$ .

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{5 (16 e^{- 0.04 t})}{25}$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{5 (16 e^{- 0.04 t})}{5 (5)}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{5 (16 e^{- 0.04 t})}{5 \cdot 5}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{16 e^{- 0.04 t}}{5}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d T}{d t} + \frac{1}{25} T = \frac{16}{5} e^{- 0.04 t}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = \frac{1}{25}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{1}{25} d t}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{\frac{1}{25} t + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\frac{1}{25} t}$

Étape 2.4

Associez $\frac{1}{25}$ et $t$ .

$e^{\frac{t}{25}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{\frac{t}{25}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + e^{\frac{t}{25}} (\frac{1}{25} T) = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{1}{25} e^{\frac{t}{25}} T = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{1}{25}$ et $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}}}{25} T = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

Étape 3.2.3

Associez $\frac{e^{\frac{t}{25}}}{25}$ et $T$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t}{25}} e^{- 0.04 t}$

Étape 3.4

Multipliez $e^{\frac{t}{25}}$ par $e^{- 0.04 t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1

Déplacez $e^{- 0.04 t}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} (e^{- 0.04 t} e^{\frac{t}{25}})$

Étape 3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{- 0.04 t + \frac{t}{25}}$

Étape 3.4.3

Pour écrire $- 0.04 t$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{25}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{- 0.04 t \cdot \frac{25}{25} + \frac{t}{25}}$

Étape 3.4.4

Associez $- 0.04 t$ et $\frac{25}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{- 0.04 t \cdot 25}{25} + \frac{t}{25}}$

Étape 3.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{- 0.04 t \cdot 25 + t}{25}}$

Étape 3.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.6.1

Factorisez $t$ à partir de $- 0.04 t \cdot 25 + t$ .

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Étape 3.4.6.1.1

Factorisez $t$ à partir de $- 0.04 t \cdot 25$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25) + t}{25}}$

Étape 3.4.6.1.2

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25) + t^{1}}{25}}$

Étape 3.4.6.1.3

Factorisez $t$ à partir de $t^{1}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25) + t \cdot 1}{25}}$

Étape 3.4.6.1.4

Factorisez $t$ à partir de $t (- 0.04 \cdot 25) + t \cdot 1$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25 + 1)}{25}}$

Étape 3.4.6.2

Multipliez $- 0.04$ par $25$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 1 + 1)}{25}}$

Étape 3.4.6.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t \cdot 0}{25}}$

Étape 3.4.7

Multipliez $t$ par $0$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{0}{25}}$

Étape 3.4.8

Divisez $0$ par $25$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{0}$

Étape 3.5

Simplifiez $\frac{16}{5} e^{0}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5}$

Étape 3.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{T e^{\frac{t}{25}}}{25} = \frac{16}{5}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} T] = \frac{16}{5}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} T] d t = \int \frac{16}{5} d t$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{\frac{t}{25}} T = \int \frac{16}{5} d t$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$e^{\frac{t}{25}} T = \frac{16}{5} t + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{\frac{t}{25}} T = \frac{16}{5} t + C$ par $e^{\frac{t}{25}}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{\frac{t}{25}} T = \frac{16}{5} t + C$ par $e^{\frac{t}{25}}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{25}} T}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{\frac{16}{5} t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{\frac{t}{25}}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{\frac{t}{25}} T}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{\frac{16}{5} t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $T$ par $1$ .

$T = \frac{\frac{16}{5} t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Associez $\frac{16}{5}$ et $t$ .

$T = \frac{\frac{16 t}{5}}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Étape 8.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$T = \frac{16 t}{5} \cdot \frac{1}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Étape 8.3.1.3

Associez.

$T = \frac{16 t \cdot 1}{5 e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Étape 8.3.1.4

Multipliez $16$ par $1$ .

$T = \frac{16 t}{5 e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$