Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} + 2 x y) d y = y^{2} d x$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Soustrayez $y^{2} d x$ des deux côtés de l’équation.

$(x^{2} + 2 x y) d y - y^{2} d x = 0$

Étape 1.2

Réécrivez.

$- y^{2} d x + (x^{2} + 2 x y) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = - y^{2}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y)$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{2} + 2 x y$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y \cdot 1$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x + 2 y$ .

$- 2 y = 2 x + 2 y$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$- 2 y = 2 x + 2 y$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2 y$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x + 2 y$ .

$\frac{- 2 y - (2 x + 2 y)}{N}$

Étape 5.3

Remplacez $N$ par $x^{2} + 2 x y$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $N$ par $x^{2} + 2 x y$ .

$\frac{- 2 y - (2 x + 2 y)}{x^{2} + 2 x y}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 y - (2 x) - (2 y)}{x^{2} + 2 x y}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 y - 2 x - (2 y)}{x^{2} + 2 x y}$

Étape 5.3.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 y - 2 x - 2 y}{x^{2} + 2 x y}$

Étape 5.3.2.4

Soustrayez $2 y$ de $- 2 y$ .

$\frac{- 2 x - 4 y}{x^{2} + 2 x y}$

Étape 5.3.2.5

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x - 4 y$ .

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Étape 5.3.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) - 4 y}{x^{2} + 2 x y}$

Étape 5.3.2.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 y$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (- 2 y)}{x^{2} + 2 x y}$

Étape 5.3.2.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (- 2 y)$ .

$\frac{2 (- x - 2 y)}{x^{2} + 2 x y}$

Étape 5.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 2 x y$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{2 (- x - 2 y)}{x \cdot x + 2 x y}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{2 (- x - 2 y)}{x \cdot x + x (2 y)}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x (2 y)$ .

$\frac{2 (- x - 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun à $- x - 2 y$ et $x + 2 y$ .

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Étape 5.3.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) - 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y$ .

$\frac{2 (- (x) - (2 y))}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (2 y)$ .

$\frac{2 (- (x + 2 y))}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.4.4

Réécrivez $- (x + 2 y)$ comme $- 1 (x + 2 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (x + 2 y))}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.4.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 1 (x + 2 y))}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.4.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

Étape 5.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Étape 5.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Étape 6.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 6.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 6.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Étape 6.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1

Simplifiez $- 2 \ln (| x |)$ en déplaçant $- 2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Étape 6.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Étape 6.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{- 2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Étape 6.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $- y^{2} d x + (x^{2} + 2 x y) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $- y^{2}$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- y^{2} \frac{1}{x^{2}} d x + (x^{2} + 2 x y) d y = 0$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $y^{2}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + 2 x y) d y = 0$

Étape 7.3

Multipliez $x^{2} + 2 x y$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Étape 7.4

Multipliez $x^{2} + 2 x y$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x^{2} + 2 x y}{x^{2}} d y = 0$

Étape 7.5

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 2 x y$ .

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Étape 7.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + 2 x y}{x^{2}} d y = 0$

Étape 7.5.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x y$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (2 y)}{x^{2}} d y = 0$

Étape 7.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x (2 y)$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x + 2 y)}{x^{2}} d y = 0$

Étape 7.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x + 2 y)}{x \cdot x} d y = 0$

Étape 7.6.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x + 2 y)}{x \cdot x} d y = 0$

Étape 7.6.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x + 2 y}{x} d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{y^{2}}{x^{2}} d x$

Étape 9

Intégrez $M (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{2}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - \int \frac{y^{2}}{x^{2}} d x$

Étape 9.2

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $y^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - (y^{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Étape 9.3

Supprimez les parenthèses.

$f (x, y) = - y^{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 9.4

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$f (x, y) = - y^{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 9.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 9.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = - y^{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 9.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (x, y) = - y^{2} \int x^{- 2} d x$

Étape 9.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$f (x, y) = - y^{2} (- x^{- 1} + C)$

Étape 9.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.7.1

Réécrivez $- y^{2} (- x^{- 1} + C)$ comme $- y^{2} (- \frac{1}{x}) + C$ .

$f (x, y) = - y^{2} (- \frac{1}{x}) + C$

Étape 9.7.2

Simplifiez

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Étape 9.7.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (x, y) = 1 y^{2} \frac{1}{x} + C$

Étape 9.7.2.2

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$f (x, y) = y^{2} \frac{1}{x} + C$

Étape 9.7.2.3

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + g (y)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x + 2 y}{x}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{x} + g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{y^{2}}{x} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{x}]$ .

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Étape 12.3.1

Comme $\frac{1}{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y^{2}}{x}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

Étape 12.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

Étape 12.3.3

Associez $2$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2}{x} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

Étape 12.3.4

Associez $\frac{2}{x}$ et $y$ .

$\frac{2 y}{x} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 2 y}{x}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{2 y}{x} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + 2 y}{x}$

Étape 12.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y}{x} = \frac{x + 2 y}{x}$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 13.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 13.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 13.1.1.1

Soustrayez $\frac{x + 2 y}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y}{x} - \frac{x + 2 y}{x} = 0$

Étape 13.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y - (x + 2 y)}{x} = 0$

Étape 13.1.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y - x - (2 y)}{x} = 0$

Étape 13.1.1.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y - x - 2 y}{x} = 0$

Étape 13.1.1.4

Associez les termes opposés dans $2 y - x - 2 y$ .

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Étape 13.1.1.4.1

Soustrayez $2 y$ de $2 y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x + 0}{x} = 0$

Étape 13.1.1.4.2

Additionnez $- x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

Étape 13.1.1.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 13.1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

Étape 13.1.1.5.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 = 0$

Étape 13.1.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 1$

Étape 14

Déterminez la primitive de $1$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Étape 14.3

Appliquez la règle de la constante.

$g (y) = y + C$

Étape 15

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + y + C$