Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Soustrayez $\frac{y}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{x})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Étape 3.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x |) = C$

Étape 3.3

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| y x |) = C$

Étape 3.4

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y x |)} = e^{C}$

Étape 3.5

Réécrivez $\ln (| y x |) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x |$

Étape 3.6

Résolvez $y$ .

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Étape 3.6.1

Réécrivez l’équation comme $| y x | = e^{C}$ .

$| y x | = e^{C}$

Étape 3.6.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y x = \pm e^{C}$

Étape 3.6.3

Divisez chaque terme dans $y x = \pm e^{C}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 3.6.3.1

Divisez chaque terme dans $y x = \pm e^{C}$ par $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Étape 3.6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Étape 3.6.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{C}{x}$